상경계열 2번

1. 동전의 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 $\displaystyle Y$라 하면$\displaystyle X=2^{Y}\left(\frac{1}{2}\right)^{8-Y}=2^{2Y-8}$, 즉, $\displaystyle \log_{2}X=2Y-8$

따라서$\displaystyle \mathrm{E}(\log_{2}X)=\mathrm{E}(2Y-8)=2\mathrm{E}(Y)-8=2\cdot8p-8=16p-8$

2. 동전을 던지기 전의 점수를 $\displaystyle x$라 할 때, 던진 후의 점수의 기댓값은$\displaystyle 2x\cdot p+\frac{x}{2}\cdot(1-p)=\left(2p+\frac{1}{2}(1-p)\right)x$게임 시작 시 $\displaystyle 1$점을 부여받고, 서로 독립인 동전 던지기 시행을 $\displaystyle 8$회 반복하므로$\displaystyle \mathrm{E}(X)=\left(2p+\frac{1}{2}(1-p)\right)^{8}=\frac{(3p+1)^{8}}{2^{8}}$

주어진 조건에 의해$\displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac{(3p+1)^{8}}{2^{8}}=\frac{256}{6561}=\frac{2^{8}}{3^{8}}$따라서 $\displaystyle 3p+1=\frac{4}{3}$. 즉, $\displaystyle p=\frac{1}{9}$

3. 일반적인 $\displaystyle p$에 대하여, 처음 $\displaystyle 4$회의 동전 던지기를 한 뒤 점수가 $\displaystyle 1$점 미만이면 점수를 $\displaystyle 1$점으로 조정하였을 때의 확률분포는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}\text{최종 점수}&16&4&1\\\hline\text{확률}&p^{4}&{}_{4}\mathrm{C}_{1}p^{3}(1-p)=4p^{3}(1-p)&1-p^{4}-4p^{3}(1-p)\end{array}$Correction. 표의 “최종 점수”는 “처음 4회의 시행 뒤 규칙 (라)를 적용한 점수”의 오기이다. 게임의 최종 점수는 나머지 4회의 시행까지 마친 뒤의 점수이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이 확률변수의 기댓값은$\displaystyle 16p^{4}+4\cdot4p^{3}(1-p)+(1-p^{4}-4p^{3}(1-p))$

동전을 던지기 전의 점수를 $\displaystyle x$라 할 때, 동전을 $\displaystyle 4$회 던진 후의 점수의 기댓값은$\displaystyle \left(2p+\frac{1}{2}(1-p)\right)^{4}x$따라서 게임의 최종 점수의 기댓값은$\displaystyle \left(2p+\frac{1}{2}(1-p)\right)^{4}[16p^{4}+4\cdot4p^{3}(1-p)+(1-p^{4}-4p^{3}(1-p))]$$\displaystyle p=\frac{1}{2}$일 때, 이 값은$\displaystyle \left(\frac{5}{4}\right)^{4}\left(1+1+\frac{11}{16}\right)=\frac{625}{256}\cdot\frac{43}{16}=\frac{26875}{4096}$