자연계열 1번

1. $\displaystyle \left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right)=4$이고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=-(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}})$이므로$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}+\frac{9}{4}|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^{2}-3(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}})=4$.$\displaystyle \cos\mathrm{B}=\frac{1}{4}$이다. $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4d$라 하면 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=2d$이므로, 위의 등식으로부터, $\displaystyle 19d^{2}=4$임을 알 수 있다.따라서, $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\frac{8}{\sqrt{19}}$이다.

2. 문제에 주어진 식으로부터 세 점 B, C, Q는 두 점 P, A를 초점으로 하는 쌍곡선 위에 있으며, 점 C, Q는 점 P쪽에, 점 B는 A쪽에 가까움을 알 수 있다.문제는 도형의 위치가 아닌 크기에 관한 것이므로, $\displaystyle \mathrm{P}=(-c,0),\ \mathrm{A}=(c,0)$로 하고, 쌍곡선은 다음의 방정식을 만족하는 것으로 하고 문제를 해결하여야 무방하다.Correction. “해결하여야 무방하다”는 문맥상 “해결하여도 무방하다”의 뜻이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\quad(\text{단, }b^{2}=c^{2}-a^{2},\ a>0)$이 경우 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=4a$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=8a$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}$가 최소가 되는 경우를 생각하므로 $\displaystyle \mathrm{Q}=(-a,0)$로 하고 문제를 생각한다.

$\displaystyle 2(\overline{\mathrm{PB}}-\overline{\mathrm{AB}})=\overline{\mathrm{BC}}$로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}=10a$, $\displaystyle 2(\overline{\mathrm{AC}}-\overline{\mathrm{PC}})=\overline{\mathrm{BC}}$로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{PC}}=6a$가 되어 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PC}}+\overline{\mathrm{BC}}$가 성립하여 점 C가 선분 PB 위에 있음을 알 수 있는데, 선분 BC의 중점과 점 A, P는 직각삼각형을 이루므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}=2a\sqrt{31}$임을 알 수 있다. 한 편 두 초점사이의 거리 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}=2c$이므로, $\displaystyle c=a\sqrt{31}$이다.

따라서, $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AQ}}}{\overline{\mathrm{BC}}}=\frac{a+c}{4a}=\frac{a+a\sqrt{31}}{4a}=\frac{1+\sqrt{31}}{4}$이다.

3. $\displaystyle \left(xf(\cos x)\right)^{\prime}=f(\cos x)-x\sin x f^{\prime}(\cos x)$이므로값을 구하고자 하는 식의 첫 번째 항에 부분적분법을 적용하면,$\displaystyle \int_{0}^{\theta}x\sin x f^{\prime}(\cos x)\,dx=\Biggl[x(-f(\cos x))\Biggr]_{0}^{\theta}+\int_{0}^{\theta}f(\cos x)\,dx$.두 번째 항에 치환 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$을 적용하면,$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}-\theta}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\,dx=\int_{\theta}^{0}f\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\right)\cdot(-1)\,dt=\int_{0}^{\theta}f(\cos t)\,dt$.이다. 따라서, 구하고자 하는 값은$\displaystyle \Biggl[x(-f(\cos x))\Biggr]_{0}^{\theta}=-\theta f(\cos\theta)$.세 변의 비가 $\displaystyle 2:1:2$인 이등변 삼각형 ABC에 코사인법칙을 적용하면 $\displaystyle \cos\theta=\frac{2^{2}+2^{2}-1^{2}}{2\cdot2\cdot2}=\frac{7}{8}$이다.따라서, 구하고자 하는 값은 $\displaystyle -\theta f(\cos\theta)=-\theta f\left(\frac{7}{8}\right)=-\theta\frac{1}{\theta}=-1$이다.