상경계열 2번

1. $\displaystyle 1$부터 $\displaystyle 6$까지의 숫자를 $\displaystyle 3$개의 순서쌍으로 나누어 $\displaystyle (a_{1},a_{2}),(a_{3},a_{4}),(a_{5},a_{6})$라 하고, 각각의 순서쌍을 서로 마주보는 면에 적는다고 가정하자. 그러면 $\displaystyle X$의 기댓값은 $\displaystyle (a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6})/3=7$로 항상 일정하게 됨을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle X$의 분산은 $\displaystyle [(a_{1}+a_{2}-7)^{2}+(a_{3}+a_{4}-7)^{2}+(a_{5}+a_{6}-7)^{2}]/3$이 되는데, 이를 계산해 보면$\displaystyle \begin{aligned}&\frac{1}{3}[(a_{1}+a_{2}-7)^{2}+(a_{3}+a_{4}-7)^{2}+(a_{5}+a_{6}-7)^{2}]\\&=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{6}a_{i}^{2}+\frac{2}{3}(a_{1}a_{2}+a_{3}a_{4}+a_{5}a_{6})-\frac{14}{3}\sum_{i=1}^{6}a_{i}+49\end{aligned}$를 얻는다. 여기서 $\displaystyle \sum_{i=1}^{6}a_{i}^{2}=91,\ \sum_{i=1}^{6}a_{i}=21$로 고정이므로 $\displaystyle a_{1}a_{2}+a_{3}a_{4}+a_{5}a_{6}$의 최댓값을 구하면 되는데, 경우를 나누어 생각하면 각각의 $\displaystyle a_{i}=i$일 때 $\displaystyle 44$가 최댓값임을 알 수 있다. 따라서 분산의 최댓값은 $\displaystyle 32/3$이다.

2. 확률밀도함수는 항상 $\displaystyle 0$보다 크거나 같으므로 $\displaystyle a\le0$임을 알 수 있다. 조건 (가)에서 $\displaystyle f(0)=f(2)=0$이고, 조건 (나)에서 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}f(4-x)$이므로 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 $\displaystyle 2\le x\le4$인 부분은 $\displaystyle 0\le x\le2$인 부분을 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이동한 후 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle 4$만큼 평행 이동한 다음 함숫값을 $\displaystyle \frac{1}{3}$배 한 것이다. 마찬가지로 조건 (다)에서 $\displaystyle f(x)=2f(6-x)$이므로 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 $\displaystyle 4\le x\le6$인 부분은 $\displaystyle 0\le x\le2$인 부분을 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이동한 후 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle 6$만큼 평행 이동한 다음 함숫값을 $\displaystyle 2$배 한 것이다. 따라서 확률밀도함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 다음과 같다.

이때 확률밀도함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle 1$이므로$\displaystyle \frac{1}{2}\times2\times(-a)+\frac{1}{2}\times2\times\left(-\frac{a}{3}\right)+\frac{1}{2}\times2\times(-2a)=1$에서 $\displaystyle a=-\frac{3}{10}=-0.3$이다.따라서 $\displaystyle 0\le x\le2$일 때, $\displaystyle f(x)=-0.3|x-1|+0.3$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(1.5\le X\le6)&=\mathrm{P}(1.5\le X\le2)+\mathrm{P}(2<X\le4)+\mathrm{P}(4<X\le6)\\&=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{3}{20}+\frac{1}{2}\times2\times\frac{1}{10}+\frac{1}{2}\times2\times\frac{3}{5}\\&=\frac{59}{80}.\end{aligned}$

3. 사실 구하고자 하는 확률은 모든 $\displaystyle i=1,\ldots,2022$에 대하여 $\displaystyle i$번째 항아리에서 무작위로 뽑은 한 개의 공이 빨간색일 확률과 동일하고 이는 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다.우선 $\displaystyle A_{i}$는 $\displaystyle i$번째 항아리에서 빨간 공을 뽑은 사건이라고 하자 ($\displaystyle i=1,\ldots,2022$). 그러면 수학적 귀납법을 통해 다음이 성립한다.1) $\displaystyle i=1$일 때, $\displaystyle P(A_{1})=\frac{r}{r+b}$임을 손쉽게 알 수 있다.2) $\displaystyle i=n$일 때, $\displaystyle P(A_{n})=\frac{r}{r+b}$임을 가정한다.3) $\displaystyle i=n+1$일 때, 조건부 확률을 이용하면 다음을 얻을 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(A_{n+1})&=\mathrm{P}(A_{n+1}\cap A_{n})+\mathrm{P}(A_{n+1}\cap A_{n}^{c})\\&=\mathrm{P}(A_{n+1}|A_{n})\times\mathrm{P}(A_{n})+\mathrm{P}(A_{n+1}|A_{n}^{c})\times\mathrm{P}(A_{n}^{c})\\&=\frac{r+1}{r+b+1}\times\frac{r}{r+b}+\frac{r}{r+b+1}\times\frac{b}{r+b}\\&=\frac{r(r+b+1)}{(r+b+1)(r+b)}=\frac{r}{r+b}.\end{aligned}$따라서 모든 $\displaystyle i=1,\ldots,2022$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P}(A_{i})=\frac{r}{r+b}$임을 알 수 있고 찾고자 하는 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A_{2022})=\frac{r}{r+b}$이다.