상경계열 2번

한양대 서울캠퍼스 2023학년도 모의 상경계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2023mo/sanggyeong_2

[문제 2번] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

1. 정육면체의 여섯 면에 $\displaystyle 1$ 부터 $\displaystyle 6$ 까지의 숫자를 하나씩 적어 주사위를 만들고, 이 주사위를 던져서 나온 숫자와 그 정 반대편 면에 적힌 숫자의 합을 확률변수 $\displaystyle X$ 라 정의한다. 즉, 확률변수 $\displaystyle X$ 의 분포는 주사위 숫자의 배치에 따라 달라질 수 있다. 이 때 $\displaystyle X$ 의 분산이 가질 수 있는 최댓값을 구하여라.

Notice. 대학은 확률밀도함수를 다루는 소문항 2를 출제 오류로 채점에서 제외하였다.원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

소문항 2 원문 보기

2. 연속확률변수 $\displaystyle X$ 가 갖는 값의 범위는 $\displaystyle 0\le X\le6$ 이고 확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률밀도함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle \mathrm{P}(1.5\le X\le6)$ 의 값은?

(가) $\displaystyle 0$ 이 아닌 상수 $\displaystyle a$ 에 대하여 $\displaystyle 0\le x\le2$ 일 때, $\displaystyle f(x)=a|x-1|-a$ 이다.

(나) $\displaystyle 2\le x\le4$ 인 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}f(4-x)$ 이다.

(다) $\displaystyle 4\le x\le6$ 인 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=2f(6-x)$ 이다.

3. $\displaystyle 2022$ 개의 항아리가 있고 각 항아리에는 $\displaystyle r$ 개의 빨간 공과 $\displaystyle b$ 개의 파란 공이 담겨있다고 가정하자. 첫 번째 항아리에서 공 한 개가 무작위로 선택되어 두 번째 항아리로 옮겨지고, 그 후 두 번째 항아리에서 공 한 개가 무작위로 선택되어 세 번째 항아리로 옮겨지는 과정이 순차적으로 이루어진다. 최종적으로 $\displaystyle 2022$ 번째 항아리에서 공 한 개가 무작위로 선택될 때 이 공이 빨간 공일 확률은 무엇인가?

해설강의 준비중

한양대 서울캠퍼스 2023학년도 모의 상경계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2023mo/sanggyeong_2

+30점 · 확률변수

\displaystyle X

의 분산이 언제 커지는지 개념적으로 이해하고 있는가?

+20점 · 확률변수

\displaystyle X

의 분산을 식으로 나타내고 정확히 계산하였는가?

1. $\displaystyle 1$ 부터 $\displaystyle 6$ 까지의 숫자를 $\displaystyle 3$ 개의 순서쌍으로 나누어 $\displaystyle (a_{1},a_{2}),(a_{3},a_{4}),(a_{5},a_{6})$ 라 하고, 각각의 순서쌍을 서로 마주보는 면에 적는다고 가정하자. 그러면 $\displaystyle X$ 의 기댓값은 $\displaystyle (a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6})/3=7$ 로 항상 일정하게 됨을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle X$ 의 분산은 $\displaystyle [(a_{1}+a_{2}-7)^{2}+(a_{3}+a_{4}-7)^{2}+(a_{5}+a_{6}-7)^{2}]/3$ 이 되는데, 이를 계산해 보면 $\displaystyle \begin{aligned}&\frac{1}{3}[(a_{1}+a_{2}-7)^{2}+(a_{3}+a_{4}-7)^{2}+(a_{5}+a_{6}-7)^{2}]\\&=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{6}a_{i}^{2}+\frac{2}{3}(a_{1}a_{2}+a_{3}a_{4}+a_{5}a_{6})-\frac{14}{3}\sum_{i=1}^{6}a_{i}+49\end{aligned}$ 를 얻는다. 여기서 $\displaystyle \sum_{i=1}^{6}a_{i}^{2}=91,\ \sum_{i=1}^{6}a_{i}=21$ 로 고정이므로 $\displaystyle a_{1}a_{2}+a_{3}a_{4}+a_{5}a_{6}$ 의 최댓값을 구하면 되는데, 경우를 나누어 생각하면 각각의 $\displaystyle a_{i}=i$ 일 때 $\displaystyle 44$ 가 최댓값임을 알 수 있다. 따라서 분산의 최댓값은 $\displaystyle 32/3$ 이다.

+0점 · 문제 오류로 채점에서 제외

2. 확률밀도함수는 항상 $\displaystyle 0$ 보다 크거나 같으므로 $\displaystyle a\le0$ 임을 알 수 있다. 조건 (가)에서 $\displaystyle f(0)=f(2)=0$ 이고, 조건 (나)에서 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}f(4-x)$ 이므로 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프의 $\displaystyle 2\le x\le4$ 인 부분은 $\displaystyle 0\le x\le2$ 인 부분을 $\displaystyle y$ 축에 대하여 대칭이동한 후 $\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle 4$ 만큼 평행 이동한 다음 함숫값을 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 배 한 것이다. 마찬가지로 조건 (다)에서 $\displaystyle f(x)=2f(6-x)$ 이므로 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프의 $\displaystyle 4\le x\le6$ 인 부분은 $\displaystyle 0\le x\le2$ 인 부분을 $\displaystyle y$ 축에 대하여 대칭이동한 후 $\displaystyle x$ 축의 방향으로 $\displaystyle 6$ 만큼 평행 이동한 다음 함숫값을 $\displaystyle 2$ 배 한 것이다. 따라서 확률밀도함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프는 다음과 같다.

이때 확률밀도함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프와 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle 1$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{2}\times2\times(-a)+\frac{1}{2}\times2\times\left(-\frac{a}{3}\right)+\frac{1}{2}\times2\times(-2a)=1$ 에서 $\displaystyle a=-\frac{3}{10}=-0.3$ 이다.따라서 $\displaystyle 0\le x\le2$ 일 때, $\displaystyle f(x)=-0.3|x-1|+0.3$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(1.5\le X\le6)&=\mathrm{P}(1.5\le X\le2)+\mathrm{P}(2<X\le4)+\mathrm{P}(4<X\le6)\\&=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{3}{20}+\frac{1}{2}\times2\times\frac{1}{10}+\frac{1}{2}\times2\times\frac{3}{5}\\&=\frac{59}{80}.\end{aligned}$

+20점 · 주어진 상황을 이해하고 구하고자 하는 확률을 정확히 표현하였는가?

3. 사실 구하고자 하는 확률은 모든 $\displaystyle i=1,\ldots,2022$ 에 대하여 $\displaystyle i$ 번째 항아리에서 무작위로 뽑은 한 개의 공이 빨간색일 확률과 동일하고 이는 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다.

+30점 · 구하고자 하는 확률이 모든

\displaystyle i=1,\ldots,2022

에 대하여

\displaystyle i

번째 항아리에서 무작위로 뽑은 한 개의 공이 빨간색일 확률과 동일함을 파악하고 이를 수학적 귀납법 또는 그와 유사한 과정을 통해 증명하였는가?

우선 $\displaystyle A_{i}$ 는 $\displaystyle i$ 번째 항아리에서 빨간 공을 뽑은 사건이라고 하자 ( $\displaystyle i=1,\ldots,2022$ ). 그러면 수학적 귀납법을 통해 다음이 성립한다.1) $\displaystyle i=1$ 일 때, $\displaystyle P(A_{1})=\frac{r}{r+b}$ 임을 손쉽게 알 수 있다.2) $\displaystyle i=n$ 일 때, $\displaystyle P(A_{n})=\frac{r}{r+b}$ 임을 가정한다.3) $\displaystyle i=n+1$ 일 때, 조건부 확률을 이용하면 다음을 얻을 수 있다. $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(A_{n+1})&=\mathrm{P}(A_{n+1}\cap A_{n})+\mathrm{P}(A_{n+1}\cap A_{n}^{c})\\&=\mathrm{P}(A_{n+1}|A_{n})\times\mathrm{P}(A_{n})+\mathrm{P}(A_{n+1}|A_{n}^{c})\times\mathrm{P}(A_{n}^{c})\\&=\frac{r+1}{r+b+1}\times\frac{r}{r+b}+\frac{r}{r+b+1}\times\frac{b}{r+b}\\&=\frac{r(r+b+1)}{(r+b+1)(r+b)}=\frac{r}{r+b}.\end{aligned}$ 따라서 모든 $\displaystyle i=1,\ldots,2022$ 에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P}(A_{i})=\frac{r}{r+b}$ 임을 알 수 있고 찾고자 하는 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A_{2022})=\frac{r}{r+b}$ 이다.

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