자연계열 2번

한양대 서울캠퍼스 2023학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2023mo/jayeon_2

[문제 2번] 다음 물음에 답하시오. (50점)

1. 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{2n}{2n+2k-1}$ 일 때, 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_{n}$ 을 구하시오.

2. 함수 $\displaystyle f(x)$ (단, $\displaystyle x>0$ )가 세 조건 $\displaystyle \text{(i) }f^{\prime\prime}(x)=\frac{\sin x}{x},\quad\text{(ii) }\lim_{x\to\frac{\pi}{\sqrt{3}}}f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad\text{(iii) }\lim_{x\to\pi}f^{\prime}(x)=1$ 을 만족시킬 때, 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{\sqrt{3}}}\int_{x}^{\sqrt{3}x}f^{\prime}(t)\,dt$ 을 구하시오.(단, $\displaystyle \sin\frac{\pi}{\sqrt{3}}=0.97,\ \cos\frac{\pi}{\sqrt{3}}=-0.24,\ \sin(\sqrt{3}\pi)=-0.75,\ \cos(\sqrt{3}\pi)=0.67$ 이다.)Notice. 소문항 2의 세 조건을 동시에 만족하는 함수 $\displaystyle f$ 는 존재하지 않으므로 요구한 극한값을 구할 수 없다. 조건 (i)에서 구한 $\displaystyle f^{\prime}(\pi)-f^{\prime}(\frac{\pi}{\sqrt3})$ 는 약 $\displaystyle 0.3387$ 인데, 조건 (ii)와 (iii)로 구하면 $\displaystyle 1-\frac1{\sqrt3}\approx0.4226$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

3. 선분 AB를 지름으로 하고, 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$ 인 반원의 호 위에 $\displaystyle \overset{\frown}{\mathrm{AP}_{1}}=\overset{\frown}{\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}}=\overset{\frown}{\mathrm{P}_{2}\mathrm{P}_{3}}=\cdots=\overset{\frown}{\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_{n}}=\overset{\frown}{\mathrm{P}_{n}\mathrm{B}}$ 를 만족시키는 $\displaystyle n$ 개의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1},\ \mathrm{P}_{2},\ \cdots,\ \mathrm{P}_{n}$ 이 순서대로 놓여있다.자연수 $\displaystyle k$ ( $\displaystyle 1\le k\le n$ )에 대하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AP}_{k}\mathrm{B}$ 의 넓이를 $\displaystyle S_{k}$ 라 할 때,극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+\cdots+S_{n}^{2}}{n+1}$ 을 구하시오.(오른쪽 그림은 $\displaystyle n=3$ 인 경우이다.)

해설강의 준비중

논술 조화수와 로그함수

관련 개념강의 준비중

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+15점 · 함수를 사용하여

\displaystyle x_{n}

을 함수 값들의 평균의 형태를 바꾸었는가?

1. $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}$ 는 $\displaystyle [0,1]$ 에서 연속함수이다.Correction. 여기서 연속성을 사용하는 구간은 $\displaystyle [0,2]$ 이다. $\displaystyle [0,1]$ 은 $\displaystyle [0,2]$ 의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{2n}{2n+2k-1}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{2k-1}{2n}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}f\left(\frac{2k-1}{2n}\right)$ 이다.

+15점 · 극한값을 바르게 계산하였는가?

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}f\left(\frac{2k-1}{2n}\right)=\int_{0}^{2}f(x)\,dx=\int_{0}^{2}\frac{1}{1+x}\,dx=\ln3.$

+15점 · 주어진 조건을 이용하여 위해

\displaystyle \int_{x}^{\sqrt{3}x}f^{\prime}(t)\,dt

을 적절한 형태로 바꾸었는가?Correction. “주어진 조건을 이용하여 위해”에서 “위해”는 불필요하게 들어갔다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

2. $\displaystyle \begin{aligned}\int_{x}^{\sqrt{3}x}f^{\prime}(t)\,dt&=\Biggl[f^{\prime}(t)t\Biggr]_{x}^{\sqrt{3}x}-\int_{x}^{\sqrt{3}x}f^{\prime\prime}(t)t\,dt\\&=\Biggl[f^{\prime}(t)t\Biggr]_{x}^{\sqrt{3}x}-\int_{x}^{\sqrt{3}x}\sin t\,dt=\Biggl[f^{\prime}(t)t\Biggr]_{x}^{\sqrt{3}x}+\Biggl[\cos t\Biggr]_{x}^{\sqrt{3}x}\\&=f^{\prime}(\sqrt{3}x)\sqrt{3}x-f^{\prime}(x)x+\cos(\sqrt{3}x)-\cos x\end{aligned}$

+15점 · 극한값을 바르게 계산하였는가?

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to\frac{\pi}{\sqrt{3}}}\int_{x}^{\sqrt{3}x}f^{\prime}(t)\,dt&=\lim_{x\to\frac{\pi}{\sqrt{3}}}\{f^{\prime}(\sqrt{3}x)\sqrt{3}x-f^{\prime}(x)x+\cos(\sqrt{3}x)-\cos x\}\\&=\lim_{x\to\frac{\pi}{\sqrt{3}}}f^{\prime}(\sqrt{3}x)\lim_{x\to\frac{\pi}{\sqrt{3}}}\sqrt{3}x-\lim_{x\to\frac{\pi}{\sqrt{3}}}f^{\prime}(x)\lim_{x\to\frac{\pi}{\sqrt{3}}}x+\cos\pi-\cos\left(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\right)\\&=\frac{2}{3}\pi-1-\cos\frac{\pi}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\pi-0.76\end{aligned}$

+20점 · 코사인법칙을 활용해서

\displaystyle S_{k}

를

\displaystyle k

와

\displaystyle n

에 대한 식으로 표현했는가?

3. 오른쪽 그림에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}_{k}}^{2}=1^{2}+1^{2}-2\times1\times1\times\cos\left(\frac{\pi}{n+1}k\right)=2-2\cos\left(\frac{\pi}{n+1}k\right)$ $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{k}\mathrm{B}}^{2}=4-\overline{\mathrm{AP}_{k}}^{2}=2+2\cos\left(\frac{\pi}{n+1}k\right)$ 이고, 따라서 $\displaystyle \begin{aligned}S_{k}^{2}&=\left(\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{AP}_{k}}\times\overline{\mathrm{P}_{k}\mathrm{B}}\right)^{2}=\frac{1}{4}\left(2-2\cos\left(\frac{\pi}{n+1}k\right)\right)\left(2+2\cos\left(\frac{\pi}{n+1}k\right)\right)\\&=\sin^{2}\left(\frac{\pi}{n+1}k\right)\end{aligned}$

+20점 · 극한값을 바르게 계산하였는가?

이므로 $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+\cdots+S_{n}^{2}}{n+1}&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\sin^{2}\left(\frac{\pi}{n+1}k\right)\frac{1}{n+1}=\lim_{n+1\to\infty}\sum_{k=1}^{n+1}\sin^{2}\left(\frac{\pi}{n+1}k\right)\frac{1}{n+1}\\&=\lim_{n+1\to\infty}\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{n+1}\sin^{2}\left(0+\frac{\pi-0}{n+1}k\right)\frac{\pi-0}{n+1}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}t\,dt\end{aligned}$ 이고, 부분적분법에 의해 $\displaystyle \int\sin^{2}t\,dt=\frac{1}{2}(t-\cos t\sin t)+C$ 이므로,구하는 값은 $\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}t\,dt=\frac{1}{2\pi}\Biggl[t-\cos t\sin t\Biggr]_{0}^{\pi}=\frac{1}{2}$ 이다.

QtA. 왜 넓이의 제곱을 평균하면 $\displaystyle \frac12$ 로 갈까?반원의 중심을 원점으로 두고 지름 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 를 $\displaystyle x$ 축 위에 놓자. 점 $\displaystyle \mathrm P_k=(x_k,y_k)$ 에 대하여 밑변의 길이가 2이므로 $\displaystyle S_k=\frac12\cdot2\cdot y_k=y_k$ 이다. 구하는 극한은 반원의 호 위에서 고르게 잡은 점들의 $\displaystyle y^2$ 의 평균이다.각 사분원에서 가로 거리와 세로 거리를 바꾸는 대칭을 생각하면 $\displaystyle x^2$ 와 $\displaystyle y^2$ 의 평균은 같다. 또 반지름이 1이므로 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 이다. 따라서 각각의 평균은 $\displaystyle \frac12$ 이다.

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