자연계열 1번

(가) $\displaystyle m=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$

(나) $\displaystyle f ( x ) = x^{{2}}$ 일 때

$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(a)&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(a+\Delta x)^2-a^2}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a^2+2a\Delta x+\Delta x^2-a^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}(2a+\Delta x)=2a\end{aligned}$

(다) 시간 $\displaystyle t$에서 전력 사용량을 $\displaystyle f ( t )$라고 하면 전력 소비율은 $\displaystyle f^{\prime} ( t )$이다. 평균값 정리를 적용하면

$\displaystyle \frac{f(10)-f(0)}{10-0}=\frac{6-0}{10-0}=0.6=f^{\prime}(c)$

를 만족하는 시점 $\displaystyle c$가 10시간 사이에 적어도 한 번 존재한다. 따라서 전력 소비율이 0.6KW인 시점이 적어도 한 번 존재하고 이는 제한값인 0.5KW를 초과한다.

(라) $\displaystyle f ( x ) = x^{{2}} - 2 , f^{\prime} ( x ) = 2 x$이므로

$\displaystyle x_n=x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f^{\prime}(x_{n-1})}=x_{n-1}-\frac{x_{n-1}^2-2}{2x_{n-1}}.$

$\displaystyle x_{{0}} = 2$이므로

$\displaystyle n=1:\ x_1=x_0-\frac{x_0^2-2}{2x_0}=2-\frac{2^2-2}{2\cdot2}=\frac32=1.500$

$\displaystyle n=2:\ x_2=x_1-\frac{x_1^2-2}{2x_1}=\frac32-\frac{(3/2)^2-2}{2\cdot(3/2)}=\frac{17}{12}=1.4166\cdots=1.417$

즉 $\displaystyle f ( x ) = x^{{2}} - 2 = 0$의 양의 근은 $\displaystyle \sqrt{2}$이고, 위의 방법으로 계산한 값은 1.417이다.