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자연계열 1번

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홍익대 서울캠퍼스 2014학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2014su/jayeon_1

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문제

직선 위의 임의의 두 점을 이용하면 직선의 기울기 m\displaystyle m을 구할 수 있다. 즉 [그림 1]에서 직선 y=ax+b\displaystyle y = a x + b의 기울기 m\displaystyle m은

m=y2−y1x2−x1=(ax2+b)−(ax1+b)x2−x1=a\displaystyle m = \frac{{y_{{2}} - y_{{1}}}}{{x_{{2}} - x_{{1}}}} = \frac{{( a x_{{2}} + b ) - ( a x_{{1}} + b )}}{{x_{{2}} - x_{{1}}}} = a

이다. 그런데 홍익이는 [그림 2]와 같은 곡선 y=f(x)\displaystyle y = f ( x ) 위의 점 A\displaystyle A에서의 접선의 기울기를 구할 때는 접점이 하나이므로 위와 같은 방법으로 기울기를 계산할 수 없다는 사실을 깨달았다.

직선의 기울기와 곡선의 접선 기울기를 비교한 그림 1과 그림 2.

(가) [그림 2]와 같은 함수 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )에 대해 그래프 위의 두 점 A,B\displaystyle A , B를 지나는 직선 AB\displaystyle A B의 기울기를 이용하여 점 A\displaystyle A에서 접선의 기울기를 구하는 식을 적어라.

(나) 위의 (가)에서 구한 식을 이용하여 y=x2\displaystyle y = x^{{2}}의 x=a\displaystyle x = a에서의 접선의 기울기를 구하라.

함수 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )가 구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]에서 연속이고 구간 (a,b)\displaystyle ( a , b )에서 미분가능할 때

f(b)−f(a)b−a=f′(c)\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)

를 만족하는 점 c\displaystyle c가 a\displaystyle a와 b\displaystyle b 사이에 적어도 하나 존재한다는 것이 ‘평균값 정리’이다([그림 3]).

평균값 정리의 두 점과 접점 c를 나타낸 그림 3.

(다) 지난 여름 폭염에 의해 전력 수요가 급증하면서 예비 전력이 낮아졌지만, 국민들의 협조 하에 어려움을 극복할 수 있었다. 정부에서는 에어컨을 켠 채 문을 열고 영업을 하거나 냉방온도 제한을 위반하는 업소를 단속하는 등 강도 높은 대책으로 전력 소비 감소를 유도하였다. 예를 들어 어떤 상점의 전력 소비율을 0.5KW로 제한하였는데 전기 계량기를 확인하니 10시간 동안 6KWh를 사용한 것으로 나타났다. 이 상황에 대해 평균값 정리를 적용할 수 있다고 가정할 때 전기를 사용한 10시간 사이에 전력 소비율이 0.5KW를 초과한 시점이 있음을 보여라.(1 KWh는 1KW로 1시간 사용한 전력량이다.)

함수 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )의 접선의 기울기를 이용하여 방정식 f(x)=0\displaystyle f ( x ) = 0의 근을 근사적으로 구할 수 있다. [그림 4]에서 f(x)=0\displaystyle f ( x ) = 0의 하나의 근은 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )의 그래프와 x\displaystyle x축과의 교점 P\displaystyle P의 x\displaystyle x좌표이다.

접선을 반복하여 방정식의 근에 접근하는 그림 4.

먼저 구하려는 방정식의 근을 x0\displaystyle x_{{0}}로 가정하여 x=x0\displaystyle x = x_{{0}}에서 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )의 접선의 방정식을 구하면

y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y - f ( x_{{0}} ) = f^{\prime} ( x_{{0}} ) ( x - x_{{0}} )

이고, 이 접선과 x\displaystyle x축과의 교점을 x1\displaystyle x_{{1}}이라고 하면

0−f(x0)=f′(x0)(x1−x0)\displaystyle 0 - f ( x_{{0}} ) = f^{\prime} ( x_{{0}} ) ( x_{{1}} - x_{{0}} )

이 성립하므로 f′(x0)≠0\displaystyle f^{\prime} ( x_{{0}} ) \ne 0 일 때

x1=x0−f(x0)f′(x0)\displaystyle x_{{1}} = x_{{0}} - \frac{{f ( x_{{0}} )}}{{f^{\prime} ( x_{{0}} )}}

이다. 즉 n=1,2,3,⋯\displaystyle n = 1 , 2 , 3 , \cdots 에 대해

xn=xn−1−f(xn−1)f′(xn−1)\displaystyle x_{{n}} = x_{{n - 1}} - \frac{{f ( x_{{n - 1}} )}}{{f^{\prime} ( x_{{n - 1}} )}}

과 같은 계산을 반복하여 원하는 정확도까지 방정식의 근을 구할 수 있다.

Caution. 극한의 존재를 확인하기 전에 수렴을 가정하거나 극한의 연산 법칙을 적용해선 안 된다: 이 반복 계산이 항상 방정식의 근에 수렴하는 것은 아니다. 예를 들어 f(x)=x3−2x+2\displaystyle f(x)=x^3-2x+2, x0=0\displaystyle x_0=0이면 x1=1\displaystyle x_1=1, x2=0\displaystyle x_2=0이고, 이후에도 0\displaystyle 0과 1\displaystyle 1이 반복된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(라) 방정식 f(x)=x2−2=0\displaystyle f ( x ) = x^{{2}} - 2 = 0의 양의 근을 위에서 설명한 방법으로 구하여라. x0=2\displaystyle x_{{0}} = 2로 놓고 2회 반복 계산하여 x2\displaystyle x_{{2}}를 소숫점 아래 넷째 자리에서 반올림하여 소숫점 아래 셋째 자리까지 구한다.

해설강의 준비중

홍익대 서울캠퍼스 2014학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2014su/jayeon_1

(가) m=lim⁡Δx→0f(a+Δx)−f(a)Δx\displaystyle m=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}

(나) f(x)=x2\displaystyle f ( x ) = x^{{2}} 일 때

f′(a)=lim⁡Δx→0f(a+Δx)−f(a)Δx=lim⁡Δx→0(a+Δx)2−a2Δx=lim⁡Δx→0a2+2aΔx+Δx2−a2Δx=lim⁡Δx→0(2a+Δx)=2a\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(a)&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(a+\Delta x)^2-a^2}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a^2+2a\Delta x+\Delta x^2-a^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}(2a+\Delta x)=2a\end{aligned}

(다) 시간 t\displaystyle t에서 전력 사용량을 f(t)\displaystyle f ( t )라고 하면 전력 소비율은 f′(t)\displaystyle f^{\prime} ( t )이다. 평균값 정리를 적용하면

f(10)−f(0)10−0=6−010−0=0.6=f′(c)\displaystyle \frac{f(10)-f(0)}{10-0}=\frac{6-0}{10-0}=0.6=f^{\prime}(c)

를 만족하는 시점 c\displaystyle c가 10시간 사이에 적어도 한 번 존재한다. 따라서 전력 소비율이 0.6KW인 시점이 적어도 한 번 존재하고 이는 제한값인 0.5KW를 초과한다.

(라) f(x)=x2−2,f′(x)=2x\displaystyle f ( x ) = x^{{2}} - 2 , f^{\prime} ( x ) = 2 x이므로

xn=xn−1−f(xn−1)f′(xn−1)=xn−1−xn−12−22xn−1.\displaystyle x_n=x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f^{\prime}(x_{n-1})}=x_{n-1}-\frac{x_{n-1}^2-2}{2x_{n-1}}.

x0=2\displaystyle x_{{0}} = 2이므로

n=1: x1=x0−x02−22x0=2−22−22⋅2=32=1.500\displaystyle n=1:\ x_1=x_0-\frac{x_0^2-2}{2x_0}=2-\frac{2^2-2}{2\cdot2}=\frac32=1.500

n=2: x2=x1−x12−22x1=32−(3/2)2−22⋅(3/2)=1712=1.4166⋯=1.417\displaystyle n=2:\ x_2=x_1-\frac{x_1^2-2}{2x_1}=\frac32-\frac{(3/2)^2-2}{2\cdot(3/2)}=\frac{17}{12}=1.4166\cdots=1.417

즉 f(x)=x2−2=0\displaystyle f ( x ) = x^{{2}} - 2 = 0의 양의 근은 2\displaystyle \sqrt{2}이고, 위의 방법으로 계산한 값은 1.417이다.

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