자연계열 2번

(가) 식③,즉 $\displaystyle x ( t ) = x_{{0}} \cos \omega t$와 $\displaystyle x ( t )$의 시간에 대한 2계도함수 $\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} = - \omega ^{{2}} x_{{0}} \cos \omega t$를 식①에 대입하면

$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=-\omega^2x_0\cos\omega t+\omega^2x_0\cos\omega t=0$ ―― (1)

이고

$\displaystyle x(0)=x_0\cos(\omega\cdot0)=x_0$ ―― (2)

$\displaystyle \left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}=-\omega x_0\sin(\omega\cdot0)=0$ ―― (3)

(나) i) ③의 진동수는 $\displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi}$이고 ②에서 $\displaystyle \omega=\sqrt{\frac km}$이므로

$\displaystyle f=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac km}.$

ⅱ) $\displaystyle m$이 두 배 증가하면 진동수는 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$배가 된다.

ⅲ) $\displaystyle k$가 두 배 증가하면 진동수는 $\displaystyle \sqrt{2}$배가 된다.

ⅳ) 진동수는 질량 $\displaystyle m$과 용수철 상수 $\displaystyle k$로만 표현되어 초기변위 $\displaystyle x_{{0}}$와 무관하므로 $\displaystyle x_{{0}}$가 두 배로 증가해도 진동수에는 변화가 없다.

(다) 여기서는 $\displaystyle x(t)$를 $\displaystyle \Omega$의 함수로 보아야 하는 문제이므로 $\displaystyle \Omega$에 대한 로피탈의 정리를 이용하면

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{\Omega\to\omega}x(t)&=\lim_{\Omega\to\omega}\frac{f_0(\omega\sin\Omega t-\Omega\sin\omega t)}{\omega(\omega^2-\Omega^2)}\\&=\left.\frac{f_0(\omega t\cos\Omega t-\sin\omega t)}{-2\omega\Omega}\right|_{\Omega=\omega}\\&=\frac{f_0}{2\omega^2}(\sin\omega t-\omega t\cos\omega t).\end{aligned}$

(라) (다)의 결과에서

$\displaystyle \begin{aligned}x(t)&=\frac{f_0}{2\omega^2}(\sin\omega t-\omega t\cos\omega t)\\&=\frac{f_0}{2\omega^2}\sqrt{1+\omega^2t^2}\left(\frac1{\sqrt{1+\omega^2t^2}}\sin\omega t-\frac{\omega t}{\sqrt{1+\omega^2t^2}}\cos\omega t\right)\\&=\frac{f_0}{2\omega^2}\sqrt{1+\omega^2t^2}(\cos\alpha\sin\omega t-\sin\alpha\cos\omega t)\\&=\frac{f_0}{2\omega^2}\sqrt{1+\omega^2t^2}\sin(\omega t-\alpha)\end{aligned}$

[참고] $\displaystyle \sin \left( x ± y \right) = \sin x \cos y ± \cos x \sin y$

이고, 여기서 $\displaystyle \tan \alpha = \omega t$이다. 따라서 $\displaystyle x \left( t \right)$의 진폭은 시간의 함수 $\displaystyle \frac{{f_{{0}}}}{{2 \omega^{{2}}}} \sqrt{{1 + \omega^{{2}} t^{{2}}}}$이고 이는 시간에 대한 증가함수이므로 공진이 발생한다.

(마) (i) 특정한 진동수의 지진에 의한 건물의 공진을 감소시키기 위해서는 건물의 고유진동수가 지진의 진동수로부터 멀어져야 한다. 그런데 건물의 고유진동수는 질량 $\displaystyle m$과 건물의 강성 또는 탄성을 나타내는 용수철 상수 $\displaystyle k$와 관계되므로($\displaystyle k = F / x$에서 $\displaystyle k$는 단위 변형당 가해지는 힘이므로 건물의 탄성을 줄이거나 강성을 증가시키면 $\displaystyle k$값이 증가한다.) 건물의 질량 $\displaystyle m$과 $\displaystyle k$로 나타나는 탄성 또는 강성을 변화시켜 공진을 줄일 수 있다.

ii) 따라서 건물의 질량을 변화시키거나 건물의 탄성 또는 강성을 변화시키는 합리적인 행위를 모두 답으로 간주한다. 보조재를 추가하여 기둥을 보강하고, 바닥판과 건물의 결합을 강화하고, 트러스(truss), 브레이싱(bracing)등의 공법으로 구조물의 결합력을 높이는 것 등이 예가 될 것이다.