홍익대 서울캠퍼스 2014학년도 수시 자연계열 3번 해설

홍익이는 초등학교에서 분수의 덧셈을 처음 배웠을 때 $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ 을 $\displaystyle \frac{1+1}{2+3} = \frac{2}{5}$ 로 잘못 계산하곤 하였다. 그러나 선생님은 홍익이에게 비록 덧셈은 잘못되었지만 이런 연산도 흥미로운 성질을 가질 수 있다고 말씀하셨다. 이제 대입 논술 시험을 앞둔 홍익이는 이런 연산이 어떤 성질을 갖는지 살펴보기로 했다.

유리수는 두 정수의 비 $\displaystyle \frac{p}{q} ( q \ne 0 )$ 로 표현할 수 있다. 분모 $\displaystyle q$ 는 항상 양수라고 가정하자.

(가) 유리수 $\displaystyle \frac{p}{q}$ 는 좌표평면에서 원점과 점 $\displaystyle ( q , p )$ 를 지나는 직선의 기울기로 볼 수 있다. 두 유리수 $\displaystyle \frac{{a}}{{b}} , \frac{{c}}{{d}} \left( \frac{{a}}{{b}} < \frac{{c}}{{d}} \right)$ 를 [그림 1]과 같이 나타내자. 여기에 기울기가 $\displaystyle \frac{a+c}{b+d}$ 인 직선을 그리고 이를 이용하여 부등식 $\displaystyle \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$ 가 성립함을 보여라.

(나) [그림 2]와 같이 $\displaystyle x$ 축 위의 서로 다른 두 유리수 $\displaystyle \frac{a}{b}$ 와 $\displaystyle \frac{c}{d}$ 에서 $\displaystyle x$ 축과 접하고 각각의 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac1{2b^2}$ 과 $\displaystyle \frac1{2d^2}$ 인 두 원이 있다.ⅰ) [그림 2-a]와 같이 두 원이 서로 접할 필요충분조건은 $\displaystyle | a d - b c | = 1$ 임을 보여라.ⅱ) $\displaystyle | a d - b c | = 1$ 일 때, $\displaystyle \frac{a}{b}$ 와 $\displaystyle \frac{c}{d}$ 는 기약분수임을 보여라. $\displaystyle \frac{p}{q}$ 가 기약분수임을 보이기 위해서는 양수 $\displaystyle k$ 를 $\displaystyle p , q$ 의 공약수라 할 때 $\displaystyle k = 1$ 임을 보이면 된다.ⅲ) $\displaystyle | a d - b c | \ne 1$ 일 때 [그림 2-b]와 같이 두 원은 서로 만나지 않음을 보여라.

(다) $\displaystyle x$ 축 위의 서로 다른 세 유리수 $\displaystyle \frac{a}{b} , \frac{c}{d} , \frac{a+c}{b+d}$ 에서 $\displaystyle x$ 축과 접하며 반지름의 길이가 각각 $\displaystyle \frac1{2b^2} , \frac1{2d^2} , \frac1{2(b+d)^2}$ 인 세 원이 있다. 이때, $\displaystyle | a d - b c | = 1$ 이라고 하자.ⅰ) [그림 3]과 같이 세 개의 원이 서로 접함을 보여라.ⅱ) $\displaystyle \frac{a+c}{b+d}$ 가 기약분수임을 보여라.

홍익이는 원기둥 모양의 파이프들을 지면 위에 배치하는데 [그림 4-a]와 같이 이웃하는 두 개의 파이프와 지면 사이에 생기는 공간을 줄이기 위해 계속해서 더 작은 파이프를 집어넣는다. 이를 단순화하기 위해 직선 위에 원을 그리는 문제로 바꾸어 생각하였다. [그림 4-b]와 같이 $\displaystyle x$ 축의 0과 1에 그려진 크기가 같은 두 원이 서로 접한다. 1단계인 [그림 4-c]에서는 두 원과 $\displaystyle x$ 축 사이에 생긴 1개의 틈에 두 원에 접하는 원을 $\displaystyle x$ 축 위에 그린다. 2단계인 [그림 4-d]에서는 원들과 $\displaystyle x$ 축 사이에 생긴 2개의 틈에 원들과 접하는 2개의 원을 $\displaystyle x$ 축 위에 그린다. 3단계에서는 새로 생긴 4개의 틈에 4개의 원을 그리게 될 것이다. 이런 과정을 계속 반복한다.

(라) 위의 과정에서 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{50}$ 인 원은 몇 개를 그리게 되는가?

(마) 홍익이는 위와 같이 원을 그릴 때 $\displaystyle x$ 축 위의 0과 1 사이의 임의의 유리수, 예를 들어 $\displaystyle \frac{256}{365}$ 에 접하는 원을 그리게 될지 궁금했다. 복잡한 계산을 거치지 않고 이를 알아낼 수는 없을까? 홍익이는 $\displaystyle \frac{256}{365}$ 에 접하는 원을 그리는 단계가 존재한다는 성질을 다음과 같이 보이려 한다.

어떤 단계에서도 $\displaystyle \frac{256}{365}$ 에 접하는 원이 그려지지 않는다고 하자. 원을 그리는 단계가 반복될수록 원들과 $\displaystyle x$ 축 사이의 틈이 작아지므로, 결국 어느 단계에 이르면 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac1{2\cdot365^2} = \frac{1}{266450}$ 인 원을 0과 1 사이의 어디에도 접하도록 그릴 수 없다.

............

위에서는 보이고자 하는 성질을 부정함으로써 모순을 이끌어내는 방법을 사용하였다. 앞의 (나)의 결과를 이용하여 이 증명의 나머지 부분을 완성하여라.

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(가) 구하는 직선은 점 $\displaystyle ( b + d , a + c ) = ( b , a ) + ( d , c )$ 를 지난다. 따라서 두 벡터 $\displaystyle ( b , a )$ 와 $\displaystyle ( d , c )$ 의 합에 해당하는 점을 지나는 직선이다. 이 점은 벡터 $\displaystyle ( b , a ) , ( d , c )$ 를 변으로 갖는 평행사변형의 꼭지점이다. 평행사변형의 대각선은 양 변 사이에 위치하므로 기울기는 $\displaystyle \frac{a}{b}$ 와 $\displaystyle \frac{c}{d}$ 사이의 값이다.

(나)

ⅰ) $\displaystyle r = \frac1{2b^2} , R = \frac1{2d^2}$ 이라 하자. 두 원의 중심 사이의 거리를 $\displaystyle D$ 라 하면 피타고라스의 정리에 의해 $\displaystyle D^{{2}} = \left| \frac{a}{b} - \frac{c}{d} \right|^{{2}} + | R - r |^{{2}}$ 을 얻는다. 따라서

$\displaystyle \begin{aligned}D^2-(R+r)^2&=\left(\frac ab-\frac cd\right)^2+(R-r)^2-(R+r)^2\\&=\left(\frac{ad-bc}{bd}\right)^2-4rR=\left(\frac{ad-bc}{bd}\right)^2-4\frac1{2b^2}\frac1{2d^2}\\&=\frac{(ad-bc)^2-1}{b^2d^2}\end{aligned}$

이다. 두 원이 접하는 필요충분조건은 $\displaystyle D^2-(r+R)^2=0$ 이므로 $\displaystyle (ad-bc)^2=1$ , 또는 $\displaystyle |ad-bc|=1$ 을 얻는다.

ⅱ) 양수 $\displaystyle k$ 가 $\displaystyle a , b$ 의 공약수라 하고 $\displaystyle a = m k , b = n k$ 라 두면 $\displaystyle a d - b c = m k d - n k c = ( m d - n c ) k = \pm1$ 로부터, 정수의 곱이 $\displaystyle \pm1$ 이 되는 경우 $\displaystyle k = 1$ 이어야 하므로 $\displaystyle \frac{a}{b}$ 는 기약분수이고, 동일한 방법으로 $\displaystyle \frac{c}{d}$ 도 기약분수임을 알 수 있다.

ⅲ) $\displaystyle \frac{a}{b} \ne \frac{c}{d}$ 에 의해 $\displaystyle a d - b c \ne 0$ 이며, $\displaystyle a d - b c$ 는 정수이므로 ⅰ)의 식으로부터 항상 $\displaystyle D^{{2}} - ( r + R )^{{2}} \geq 0$ 이다. 즉, 만약 $\displaystyle | a d - b c | \ne 1$ 이라면 $\displaystyle D^{{2}} - ( r + R )^{{2}} > 0$ 이므로 두 원은 만나지 않는다.

(다)

ⅱ) 역시 (나)의 방법으로 $\displaystyle | a ( b + d ) - b ( a + c ) | = 1$ 는 $\displaystyle \frac{a+c}{b+d}$ 가 기약분수임을 의미한다. (이 식은 (나)에서 $\displaystyle c , d$ 대신 $\displaystyle a + c , b + d$ 가 쓰인 것만 다를 뿐 나머지는 동일하다.)

(라) (다)의 결과를 계속 적용해 가면 처음 $\displaystyle \frac{{0}}{{1}} , \frac{{1}}{{1}}$ 에서 시작해서 인접하는 두 분수 $\displaystyle \frac{a}{b} , \frac{c}{d}$ 사이의 새 원의 위치는 $\displaystyle \frac{a+c}{b+d}$ 이고 일반적으로 $\displaystyle \frac{a}{b}$ 에 위치한 원의 반지름이 $\displaystyle \frac1{2b^2}$ 가 된다. $\displaystyle \frac{1}{50} = \frac1{2\cdot5^2}$ 이므로 위 과정에서 분모가 5인 분수를 찾으면 된다.

이며 이후에는 분모가 5보다 큰 분수만 새로 등장하므로 $\displaystyle b = 5$ 인 위치는 위에서 $\displaystyle \frac{1}{5} , \frac{2}{5} , \frac{3}{5} , \frac{4}{5}$ 이다. 총 4개의 원을 그리게 된다.

(마) 원을 그리는 단계를 충분히 거치면 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{266450}$ 인 원을 어디에도 그릴 곳이 없는 도형을 얻게 됨을 문제에서 이미 설명하였다. 또한 가정에 의해 이 도형에는 $\displaystyle \frac{256}{365}$ 위에 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{266450}$ 인 원은 존재하지 않는다. 그러므로 $\displaystyle \frac{256}{365}$ 위에 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{266450}$ 인 원 $\displaystyle C$ 를 그리면 이 도형의 원 중에 원 $\displaystyle C$ 와 두 점에서 만나는 것이 있어야 한다. 문제 (나)의 결과에 의해, $\displaystyle C$ 와 이 도형의 임의의 원은 서로 접하거나 또는 만나지 않기 때문에 이는 모순이다.

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자연계열 3번

논술 직선에 접하는 원의 배치

첨삭 사례

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