자연계열 1번

(1) 직선 $\displaystyle 4 x + 3 y + \frac{{7}}{{3}} = 0$위의 격자점의 개수는 $\displaystyle 0$개

이 직선이 격자점 $\displaystyle \left( n , m \right)$을 지난다면 $\displaystyle \frac{{7}}{{3}} = - \left( 4 n + 3 m \right)$이 되어 기약분수 $\displaystyle \frac{{7}}{{3}}$이 정수라는 결론이 되어 모순이다.

직선 $\displaystyle x + \sqrt{{2}} y + 3 = 0$위의 격자점의 개수는 $\displaystyle 1$개.

이 직선이 격자점 $\displaystyle \left( n , m \right)$을 지난다 할 때, $\displaystyle m = 0$이면 $\displaystyle n = - 3$이므로 격자점 $\displaystyle \left( - 3 , 0 \right)$을 지난다. 반면, $\displaystyle m \ne 0$이라면 $\displaystyle \sqrt{{2}} = - \frac{{n + 3}}{{m}}$이 되어 무리수 $\displaystyle \sqrt{{2}}$가 유리수라는 결론이 되어 모순이다.

(2) 유리직선 $\displaystyle a x + b y + c = 0$(상수 $\displaystyle a , b , c$는 유리수)이 격자점 $\displaystyle \left( x_{{0}} , y_{{0}} \right)$를 지난다 하자. $\displaystyle d$를 $\displaystyle a , b$의 분모의 (최소)공배수라 하면 임의의 정수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle \left( x_{{0}} + b d k , y_{{0}} - a d k \right)$는 격자점이고 $\displaystyle a \left( x_{{0}} + b d k \right) + b \left( y_{{0}} - a d k \right) + c = a x_{{0}} + b y_{{0}} + c = 0$이므로 주어진 직선 위에 있다. (참고: $\displaystyle 0$의 분모는 $\displaystyle 1$(또는 임의의 $\displaystyle 0$이 아닌 정수)로 생각하면 위의 해는 $\displaystyle a , b$중 하나가 $\displaystyle 0$이어도 성립한다.)

(3) 서로 다른 두 점 $\displaystyle A = \left( x_{{1}} , y_{{1}} \right)$, $\displaystyle B = \left( x_{{2}} , y_{{2}} \right)$를 지나는 직선은 벡터방정식 $\displaystyle {\overrightarrow{{ O A}}} + t {\overrightarrow{{ A B}}}$($\displaystyle t$는 실수)로 나타낼 수 있다. 이때, $\displaystyle A , B$가 격자점이라면 임의의 정수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle \overrightarrow{{O A}} + k \overrightarrow{{A B}} = \left( x_{{1}} + k \left( x_{{2}} - x_{{1}} \right) , y_{{1}} + k \left( y_{{2}} - y_{{1}} \right) \right) = \left( \left( 1 - k \right) x_{{1}} + k x_{{2}} , \left( 1 - k \right) y_{{1}} + k y_{{2}} \right)$는 이 직선 위의 격자점이다.

(4) (위 (3)번 문항의 별해 2와 동일) 서로 다른 점 $\displaystyle A = \left( x_{{1}} , y_{{1}} \right) , B = \left( x_{{2}} , y_{{2}} \right)$를 지나는 직선은 식 $\displaystyle \left( y_{{2}} - y_{{1}} \right) x + \left( x_{{1}} - x_{{2}} \right) y + \left( y_{{1}} x_{{2}} - x_{{1}} y_{{2}} \right) = 0$로 나타낼 수 있다. 이때, $\displaystyle A , B$가 격자점이라면 이 식의 계수와 상수는 모두 정수이고 따라서 이 직선은 유리직선이다.