홍익대 서울캠퍼스 2015학년도 수시 자연계열 1번 해설

좌표평면 위의 직선 $\displaystyle \ell$ 은 다음과 같이 두 가지 방법으로 표현할 수 있다.

(가) 적당한 상수 $\displaystyle a , b , c$ 에 대해 $\displaystyle \ell : a x + b y + c = 0$

(나) 적당한 벡터 $\displaystyle {\overrightarrow{{u}}} , {\overrightarrow{{v}}}$ 에 대해 $\displaystyle \ell : {\overrightarrow{{p}}} = {\overrightarrow{{u}}} + t {\overrightarrow{{v}}}$ ( $\displaystyle t$ 는 실수)

(가) 에서 $\displaystyle a , b , c$ 가 모두 유리수인 식으로 직선 $\displaystyle \ell$ 을 나타낼 수 있으면 $\displaystyle \ell$ 을 유리직선이라 부르자. 예를 들면 직선 $\displaystyle \sqrt{{2}} x + \sqrt{{2}} y + 3 \sqrt{{2}} = 0$ 은 $\displaystyle x + y + 3 = 0$ 으로 나타낼 수 있으므로 유리직선이다.

좌표평면에서 좌표가 모두 정수인 점을 격자점이라고 한다. 좌표평면 위의 주어진 직선이 몇 개의 격자점을 지나는지 생각해 보자. 예를 들면 직선 $\displaystyle x - y = 0$ 은 무한히 많은 격자점을 지나는 반면, 직선 $\displaystyle x + y - \sqrt{{2}} = 0$ 은 격자점을 하나도 지나지 않음을 알 수 있다.

(1) 두 직선 $\displaystyle 4 x + 3 y + \frac{{7}}{{3}} = 0$ 과 $\displaystyle x + \sqrt{{2}} y + 3 = 0$ 위에 있는 격자점의 개수를 각각 구하고 그 과정을 설명하시오.

(2) 격자점을 하나라도 지나는 유리직선은 무한히 많은 격자점을 지남을 보이시오.

(3) 서로 다른 두 격자점 $\displaystyle \left( x_{{1}} , y_{{1}} \right)$ 과 $\displaystyle \left( x_{{2}} , y_{{2}} \right)$ 를 지나는 직선은 무한히 많은 격자점을 지난다는 것을 보이시오.

(4) 무한히 많은 격자점을 지나는 직선은 유리직선임을 보이시오.

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(1) 직선 $\displaystyle 4 x + 3 y + \frac{{7}}{{3}} = 0$ 위의 격자점의 개수는 $\displaystyle 0$ 개

이 직선이 격자점 $\displaystyle \left( n , m \right)$ 을 지난다면 $\displaystyle \frac{{7}}{{3}} = - \left( 4 n + 3 m \right)$ 이 되어 기약분수 $\displaystyle \frac{{7}}{{3}}$ 이 정수라는 결론이 되어 모순이다.

직선 $\displaystyle x + \sqrt{{2}} y + 3 = 0$ 위의 격자점의 개수는 $\displaystyle 1$ 개.

이 직선이 격자점 $\displaystyle \left( n , m \right)$ 을 지난다 할 때, $\displaystyle m = 0$ 이면 $\displaystyle n = - 3$ 이므로 격자점 $\displaystyle \left( - 3 , 0 \right)$ 을 지난다. 반면, $\displaystyle m \ne 0$ 이라면 $\displaystyle \sqrt{{2}} = - \frac{{n + 3}}{{m}}$ 이 되어 무리수 $\displaystyle \sqrt{{2}}$ 가 유리수라는 결론이 되어 모순이다.

(2) 유리직선 $\displaystyle a x + b y + c = 0$ (상수 $\displaystyle a , b , c$ 는 유리수)이 격자점 $\displaystyle \left( x_{{0}} , y_{{0}} \right)$ 를 지난다 하자. $\displaystyle d$ 를 $\displaystyle a , b$ 의 분모의 (최소)공배수라 하면 임의의 정수 $\displaystyle k$ 에 대해 $\displaystyle \left( x_{{0}} + b d k , y_{{0}} - a d k \right)$ 는 격자점이고 $\displaystyle a \left( x_{{0}} + b d k \right) + b \left( y_{{0}} - a d k \right) + c = a x_{{0}} + b y_{{0}} + c = 0$ 이므로 주어진 직선 위에 있다. (참고: $\displaystyle 0$ 의 분모는 $\displaystyle 1$ (또는 임의의 $\displaystyle 0$ 이 아닌 정수)로 생각하면 위의 해는 $\displaystyle a , b$ 중 하나가 $\displaystyle 0$ 이어도 성립한다.)

(3) 서로 다른 두 점 $\displaystyle A = \left( x_{{1}} , y_{{1}} \right)$ , $\displaystyle B = \left( x_{{2}} , y_{{2}} \right)$ 를 지나는 직선은 벡터방정식 $\displaystyle {\overrightarrow{{ O A}}} + t {\overrightarrow{{ A B}}}$ ( $\displaystyle t$ 는 실수)로 나타낼 수 있다. 이때, $\displaystyle A , B$ 가 격자점이라면 임의의 정수 $\displaystyle k$ 에 대해 $\displaystyle \overrightarrow{{O A}} + k \overrightarrow{{A B}} = \left( x_{{1}} + k \left( x_{{2}} - x_{{1}} \right) , y_{{1}} + k \left( y_{{2}} - y_{{1}} \right) \right) = \left( \left( 1 - k \right) x_{{1}} + k x_{{2}} , \left( 1 - k \right) y_{{1}} + k y_{{2}} \right)$ 는 이 직선 위의 격자점이다.

(4) (위 (3)번 문항의 별해 2와 동일) 서로 다른 점 $\displaystyle A = \left( x_{{1}} , y_{{1}} \right) , B = \left( x_{{2}} , y_{{2}} \right)$ 를 지나는 직선은 식 $\displaystyle \left( y_{{2}} - y_{{1}} \right) x + \left( x_{{1}} - x_{{2}} \right) y + \left( y_{{1}} x_{{2}} - x_{{1}} y_{{2}} \right) = 0$ 로 나타낼 수 있다. 이때, $\displaystyle A , B$ 가 격자점이라면 이 식의 계수와 상수는 모두 정수이고 따라서 이 직선은 유리직선이다.

문제에서 요구하는 답(가령 (1)의 격자점의 개수)을 구하고 모든 과정에 대한 설명이 정확하면 만점, 설명이 부족하면 감점한다.

풀이과정은 수식 또는 명확한 서술로 설명되어야 한다.

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자연계열 1번

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