홍익대 서울캠퍼스 2015학년도 수시 자연계열 2번 해설

우리들은 $\displaystyle 10$ 진법으로 수를 표시하는 데 익숙하다. 예를 들어 $\displaystyle 324$ 란 백의 자리수가 $\displaystyle 3$ , 십의 자리수가 $\displaystyle 2$ , 일의 자리수가 $\displaystyle 4$ 인 수로서 $\displaystyle 3 \times 10^{{2}} + 2 \times 10^{{1}} + 4 \times 10^{{0}}$ 로 표현할 수 있다. $\displaystyle 10$ 대신에 $\displaystyle 2$ 의 거듭제곱들을 이용하여 수를 표현하는 방법을 이진법이라 부른다. 거듭제곱의 지수를 음수까지 생각하면 소수도 이진법으로 표현할 수 있다. 예를 들어 $\displaystyle 5.5 = 1 \times 2^{{2}} + 0 \times 2^{{1}} + 1 \times 2^{{0}} + 1 \times 2^{{- 1}}$ 이므로 $\displaystyle 5.5$ 는 이진법으로는 $\displaystyle 101.1_{{( 2 )}}$ 로 표현된다.

다음과 같이 함수 $\displaystyle T \left( x \right)$ 를 $\displaystyle 0 \leq x < 1$ 인 실수 $\displaystyle x$ 에 대해 정의한다.

$\displaystyle T \left( x \right) = {\begin{cases}2 x & \left( 0 \leq x < \frac{{1}}{{2}} \right) \\ 2 x - 1 & \left( \frac{{1}}{{2}} \leq x < 1 \right)\end{cases}}$

$\displaystyle k \geq 1$ 일 때 함수 $\displaystyle T \left( x \right)$ 를 $\displaystyle k$ 번 합성한 함수를 $\displaystyle T^{{k}} \left( x \right)$ 라고 정의하고 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\displaystyle T^{{k}} \left( x \right) = T \left( T^{{k - 1}} \left( x \right) \right)$ (단, $\displaystyle T^{{0}} \left( x \right) = x$ )

$\displaystyle 0 \leq x < 1$ 인 실수 $\displaystyle x$ 에 대해 함수 $\displaystyle D \left( x \right)$ 를 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle D \left( x \right) = {\begin{cases}0 \ \ & \left( 0 \leq x < \frac{{1}}{{2}} \right) \\ 1 & \left( \frac{{1}}{{2}} \leq x < 1 \right)\end{cases}}$

$\displaystyle k \geq 1$ 일 때 함수 $\displaystyle M_{{k}} \left( x \right)$ 를 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle M_{{k}} \left( x \right) = D \left( T^{{k - 1}} \left( x \right) \right)$

(1) $\displaystyle x = 0.110101_{{( 2 )}}$ 에 대해서 $\displaystyle T \left( x \right)$ 와 $\displaystyle T^{{2}} \left( x \right)$ 를 이진수로 각각 표현하시오.

(2) 어떤 수 $\displaystyle x$ 에 대해 $\displaystyle k$ 가 $\displaystyle 1$ 일 때부터 $\displaystyle M_{{k}} \left( x \right)$ 들을 순서대로 나열하면 $\displaystyle 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , \cdots$ 과 같이 첫 번째 항은 $\displaystyle 1$ 이고 그 다음 항부터 ‘ $\displaystyle 0 , 1 , 1$ ’의 패턴이 무한 반복된다. 이때 $\displaystyle x$ 를 기약 분수로 나타내시오.

(3) 구간 $\displaystyle A=\{x\in\mathbb R\mid0\le x<1\}$ 을 수직선 위에 나타내면 아래 그림과 같다.

$\displaystyle A$ 의 부분집합 $\displaystyle \left\{ x | M_{{1}} \left( x \right) = 1 \right\}$ 과 $\displaystyle \left\{ x | M_{{2}} \left( x \right) = 1 \right\}$ 을 수직선 위에 각각 나타내시오.

(4) 연속확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률밀도함수가 $\displaystyle f \left( x \right) = 2 x$ (단, $\displaystyle 0 \leq x < 1$ )일 때, $\displaystyle { P} \left( M_{{k}} \left( X \right) = 1 \right)$ 인 확률을 구하시오.

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(1) (답안 1) $\displaystyle x = 0.110101_{{( 2 )}} = \frac{{1}}{{2}} + \cdots \geq \frac{{1}}{{2}}$

$\displaystyle \therefore T \left( x \right) = 2 x - 1 = 1.10101_{{( 2 )}} - 1 = 0.10101_{{( 2 )}}$

$\displaystyle T \left( x \right) = 0.10101_{{( 2 )}} = \frac{{1}}{{2}} + \cdots \geq \frac{{1}}{{2}}$

$\displaystyle \therefore T^{{2}} \left( x \right) = 2 T \left( x \right) - 1 = 1.0101_{{( 2 )}} - 1 = 0.0101_{{( 2 )}}$

(2) $\displaystyle 101$ 패턴이 반복되므로

$\displaystyle x = 0.1011011011 \cdots _{{( 2 )}} = 0.101 + 0.000101 + \cdots = \left( 0.101 \right) \times \sum_{k=0}^{\infty} 2^{{- 3 k}} = \frac{{5}}{{8}} \times \frac{{1}}{{1 - \frac{{1}}{{8}}}} = \frac{{5}}{{7}}$

(3) 주어진 함수들 $\displaystyle D , M_{{1}} , M_{{2}}$ 의 정의로부터

$\displaystyle M_{{1}} \left( x \right) = D \left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{1}}{{2}} \leq x < 1$ , $\displaystyle M_{{2}} \left( x \right) = D \left( T \left( x \right) \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{1}}{{2}} \leq T \left( x \right) < 1$ 이다.

한편 함수 $\displaystyle T$ 의 정의로부터 마지막 부등식은 $\displaystyle 0 \leq x < \frac{{1}}{{2}}$ 인 $\displaystyle x$ 에 대해서는 $\displaystyle \frac{{1}}{{2}} \leq 2 x < 1$ , $\displaystyle \frac{{1}}{{2}} \leq x < 1$ 인 $\displaystyle x$ 에 대해서는 $\displaystyle \frac{{1}}{{2}} \leq 2 x - 1 < 1$ 로 주어진다. 따라서

$\displaystyle M_{{2}} \left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{1}}{{4}} \leq x < \frac{{1}}{{2}}$ 또는 $\displaystyle \frac{{3}}{{4}} \leq x < 1$ 이다.

아래 그림의 굵게 색칠한 영역:

(4) (3)번 문제으로부터 유추하면 구간은 $\displaystyle M_{{k}} \left( X \right) = 1$ 에 해당하는 집합은 $\displaystyle 0$ 과 $\displaystyle 1$ 사이를 $\displaystyle 2^{{k}}$ 개로 나눈 구간 중 $\displaystyle 1$ 부터 시작해서 홀수 번째에 해당하는 $\displaystyle 2^{{k - 1}}$ 개의 구간이다.Correction. 구간을 왼쪽부터 첫 번째로 세면 짝수 번째 구간이다. 아래에 나열한 구간과 확률 계산은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \left(\left[\frac1{2^k},\frac2{2^k}\right),\cdots,\left[\frac{2n-1}{2^k},\frac{2n}{2^k}\right),\cdots,\left[\frac{2^k-1}{2^k},1\right)\right)$

그 각각의 구간에 속할 확률은 확률밀도함수를 그 구간에서 적분하면 되고 전체 확률은 그 적분 값을 모두 더하면 되므로 전체 확률은 아래와 같다.

$\displaystyle \mathrm P(M_k(X)=1)=\sum_{n=1}^{2^{k-1}}\left(\int_{\frac{2n-1}{2^k}}^{\frac{2n}{2^k}}f(x)dx\right)=\sum_{n=1}^{2^{k-1}}\left(\int_{\frac{2n-1}{2^k}}^{\frac{2n}{2^k}}2xdx\right)$ 　(가)

$\displaystyle =\sum_{n=1}^{2^{k-1}}\Biggl[x^2\Biggr]_{\frac{2n-1}{2^k}}^{\frac{2n}{2^k}}=\sum_{n=1}^{2^{k-1}}\left\{\left(\frac{2n}{2^k}\right)^2-\left(\frac{2n-1}{2^k}\right)^2\right\}$ 　(나)

$\displaystyle = \sum_{n=1}^{2^{k-1}} \frac{{1}}{{2^{{2 k}}}} \left( 4 n - 1 \right) = \frac{{1}}{{2^{{2 k}}}} \left( 2 \left( 2^{{k - 1}} \right) \left( 2^{{k - 1}} + 1 \right) - 2^{{k - 1}} \right)$

$\displaystyle = \frac{{1}}{{2^{{2 k}}}} \left( 2^{{2 k - 1}} + 2^{{k - 1}} \right) = \frac{{1}}{{2}} + \frac{{1}}{{2^{{k + 1}}}} = \frac{{2^{{k}} + 1}}{{2^{{k + 1}}}}$

문제의 풀이가 논리적이고 답이 맞으면 만점이다.

문제의 답은 맞으나 논리적인 기술이 부족한 경우 감점한다.

각 문제의 풀이는 맞았으나 계산에서 사소한 실수가 있는 경우 감점한다.

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