자연계열 2번

(1) (답안 1) $\displaystyle x = 0.110101_{{( 2 )}} = \frac{{1}}{{2}} + \cdots \geq \frac{{1}}{{2}}$

$\displaystyle \therefore T \left( x \right) = 2 x - 1 = 1.10101_{{( 2 )}} - 1 = 0.10101_{{( 2 )}}$

$\displaystyle T \left( x \right) = 0.10101_{{( 2 )}} = \frac{{1}}{{2}} + \cdots \geq \frac{{1}}{{2}}$

$\displaystyle \therefore T^{{2}} \left( x \right) = 2 T \left( x \right) - 1 = 1.0101_{{( 2 )}} - 1 = 0.0101_{{( 2 )}}$

(2) $\displaystyle 101$패턴이 반복되므로

$\displaystyle x = 0.1011011011 \cdots _{{( 2 )}} = 0.101 + 0.000101 + \cdots = \left( 0.101 \right) \times \sum_{k=0}^{\infty} 2^{{- 3 k}} = \frac{{5}}{{8}} \times \frac{{1}}{{1 - \frac{{1}}{{8}}}} = \frac{{5}}{{7}}$

(3) 주어진 함수들 $\displaystyle D , M_{{1}} , M_{{2}}$의 정의로부터

$\displaystyle M_{{1}} \left( x \right) = D \left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{1}}{{2}} \leq x < 1$, $\displaystyle M_{{2}} \left( x \right) = D \left( T \left( x \right) \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{1}}{{2}} \leq T \left( x \right) < 1$이다.

한편 함수 $\displaystyle T$의 정의로부터 마지막 부등식은 $\displaystyle 0 \leq x < \frac{{1}}{{2}}$인 $\displaystyle x$에 대해서는 $\displaystyle \frac{{1}}{{2}} \leq 2 x < 1$, $\displaystyle \frac{{1}}{{2}} \leq x < 1$인 $\displaystyle x$에 대해서는 $\displaystyle \frac{{1}}{{2}} \leq 2 x - 1 < 1$로 주어진다. 따라서

$\displaystyle M_{{2}} \left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{1}}{{4}} \leq x < \frac{{1}}{{2}}$또는 $\displaystyle \frac{{3}}{{4}} \leq x < 1$이다.

아래 그림의 굵게 색칠한 영역:

(4) (3)번 문제으로부터 유추하면 구간은 $\displaystyle M_{{k}} \left( X \right) = 1$에 해당하는 집합은 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$사이를 $\displaystyle 2^{{k}}$개로 나눈 구간 중 $\displaystyle 1$부터 시작해서 홀수 번째에 해당하는 $\displaystyle 2^{{k - 1}}$개의 구간이다.Correction. 구간을 왼쪽부터 첫 번째로 세면 짝수 번째 구간이다. 아래에 나열한 구간과 확률 계산은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \left(\left[\frac1{2^k},\frac2{2^k}\right),\cdots,\left[\frac{2n-1}{2^k},\frac{2n}{2^k}\right),\cdots,\left[\frac{2^k-1}{2^k},1\right)\right)$

그 각각의 구간에 속할 확률은 확률밀도함수를 그 구간에서 적분하면 되고 전체 확률은 그 적분 값을 모두 더하면 되므로 전체 확률은 아래와 같다.

$\displaystyle \mathrm P(M_k(X)=1)=\sum_{n=1}^{2^{k-1}}\left(\int_{\frac{2n-1}{2^k}}^{\frac{2n}{2^k}}f(x)dx\right)=\sum_{n=1}^{2^{k-1}}\left(\int_{\frac{2n-1}{2^k}}^{\frac{2n}{2^k}}2xdx\right)$　(가)

$\displaystyle =\sum_{n=1}^{2^{k-1}}\Biggl[x^2\Biggr]_{\frac{2n-1}{2^k}}^{\frac{2n}{2^k}}=\sum_{n=1}^{2^{k-1}}\left\{\left(\frac{2n}{2^k}\right)^2-\left(\frac{2n-1}{2^k}\right)^2\right\}$　(나)

$\displaystyle = \sum_{n=1}^{2^{k-1}} \frac{{1}}{{2^{{2 k}}}} \left( 4 n - 1 \right) = \frac{{1}}{{2^{{2 k}}}} \left( 2 \left( 2^{{k - 1}} \right) \left( 2^{{k - 1}} + 1 \right) - 2^{{k - 1}} \right)$

$\displaystyle = \frac{{1}}{{2^{{2 k}}}} \left( 2^{{2 k - 1}} + 2^{{k - 1}} \right) = \frac{{1}}{{2}} + \frac{{1}}{{2^{{k + 1}}}} = \frac{{2^{{k}} + 1}}{{2^{{k + 1}}}}$