자연계열 3번

(1) (식 1)은 다음과 같은 과정을 거쳐 (식 2)로 변환될 수 있다.

$\displaystyle m \frac{{v_{{n + 1}} - v_{{n}}}}{{\Delta t}} = m g - k v_{n}^{2}$ ⇒ $\displaystyle v_{{n + 1}} - v_{{n}} = \Delta t g - \frac{{k \Delta t}}{{m}} v_{n}^{2}$ ⇒ $\displaystyle v_{{n + 1}} = \Delta t g - \frac{{k \Delta t}}{{m}} v_{n}^{2} + v_{{n}}$

⇒ $\displaystyle v_{{n + 1}} = - \frac{{k \Delta t}}{{m}} \left\{ v_{n}^{2} - \frac{{m}}{{k \Delta t}} v_{{n}} + \left( \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right)^{{2}} - \left( \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right)^{{2}} \right\} + g \Delta t$

(가) $\displaystyle v_{{n + 1}} = - \frac{{k \Delta t}}{{m}} \left( v_{{n}} - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right)^{{2}} + \frac{{m}}{{4 k \Delta t}} + g \Delta t$

양변에 $\displaystyle - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}}$을 더하면,

(나) $\displaystyle v_{{n + 1}} - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} = - \frac{{k \Delta t}}{{m}} \left( v_{{n}} - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right)^{{2}} - \frac{{m}}{{4 k \Delta t}} + g \Delta t$

양변에 $\displaystyle \frac{{k \Delta t}}{{m}}$를 곱하면,

(다) $\displaystyle \frac{{k \Delta t}}{{m}} \left( v_{{n + 1}} - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right) = - \left( \frac{{k \Delta t}}{{m}} \right)^{{2}} \left( v_{{n}} - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right)^{{2}} - \frac{{1}}{{4}} + \frac{{k \Delta t}}{{m}} g \Delta t$

(라) $\displaystyle x_{{n}} = \frac{{k \Delta t}}{{m}} \left( v_{{n}} - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right)$, $\displaystyle a = - \frac{{1}}{{4}} + \frac{{g k \left( \Delta t \right)^{{2}}}}{{m}}$으로 놓으면 $\displaystyle x_{{n + 1}} = a - x_{n}^{2}$

(2-a)

(1)에서 $\displaystyle x_{{0}} = \frac{{k \Delta t}}{{m}} v_{{0}} - \frac{{1}}{{2}}$, $\displaystyle a = - \frac{{1}}{{4}} + \frac{{g k \left( \Delta t \right)^{{2}}}}{{m}}$인 것을 알 때 (사실)에서 주어진 조건을 해석할 수 있는지 묻는 문제이다.

(가) $\displaystyle \begin{aligned}-\frac14\le a\le0&\Leftrightarrow-\frac14\le\frac{gk(\Delta t)^2}m-\frac14\le0\\&\Leftrightarrow0\le\frac{gk(\Delta t)^2}m\le\frac14\\&\Leftrightarrow0\le(\Delta t)^2\le\frac14\frac m{gk}\end{aligned}$

(나) $\displaystyle - \frac{{1}}{{2}} \leq x_{{0}} < 0$

(ⅰ) $\displaystyle v_{{0}} = 0$이면 $\displaystyle x_{{0}} = - \frac{{1}}{{2}}$: 주어진 조건 만족

(ii) $\displaystyle v_0\ne0$이면 $\displaystyle \begin{aligned}-\frac12\le x_0\le0&\Leftrightarrow-\frac12\le\frac{k\Delta t}mv_0-\frac12\le0\\&\Leftrightarrow0\le\Delta t\le\frac12\frac m{v_0k}\end{aligned}$

(가)와 (나) 모두 만족해야 하므로

$\displaystyle v_{{0}} = 0$이면 $\displaystyle 0 \leq \Delta t < \frac{{1}}{{2}} \sqrt{{\frac{{m}}{{g k}}}}$

$\displaystyle v_{{0}} \ne 0$이면 $\displaystyle 0 \leq \Delta t \leq \min \left( \frac{{1}}{{2}} \frac{{m}}{{v_{{0}} k}} , \frac{{1}}{{2}} \sqrt{{\frac{{m}}{{g k}}}} \right)$Comment. 주어진 사실을 적용하려면 $\displaystyle 0<\Delta t<\frac12\sqrt{\frac{m}{gk}}$이어야 한다. $\displaystyle v_0>0$일 때에는 $\displaystyle \Delta t\le\frac{m}{2kv_0}$도 만족해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2-b)

(가) 종단속도를 해석하는 방법에 따라 여러 가지로 구할 수 있다.

(ⅰ) (가속도)$\displaystyle = 0$, (ⅱ) $\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} {v_{{n}}} = v$, (ⅲ) $\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} {x_{{n}}} = x$일 때 $\displaystyle v_{{n}}$의 극한

(ⅰ) $\displaystyle m \frac{{d v}}{{d t}} = m g - k v^{{2}}$에서 $\displaystyle \frac{{d v}}{{d t}} = 0$이므로 $\displaystyle v = \sqrt{{\frac{{m g}}{{k}}}}$

(ⅱ) (식 1)에서 $\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} {v_{{n}}} = v$

$\displaystyle m \frac{{v - v}}{{\Delta t}} = m g - k v^{{2}}$이므로 $\displaystyle v = \sqrt{{\frac{{m g}}{{k}}}}$

(ⅲ) $\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} {x_{{n}}} = x$이면 $\displaystyle x = \frac{{- 1 ± \sqrt{{1 + 4 a}}}}{{2}}$

$\displaystyle x = \frac{{k \Delta t}}{{m}} v - \frac{{1}}{{2}}$이고 $\displaystyle x \geq - \frac{{1}}{{2}}$이므로 $\displaystyle v = \left( x + \frac{{1}}{{2}} \right) \frac{{m}}{{k \Delta t}}$에서 $\displaystyle v = \sqrt{{\frac{{m g}}{{k}}}}$

(나)

$\displaystyle x_{{n}} = \frac{{k \Delta t}}{{m}} \left( v_{{n}} - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right) = \frac{{k \Delta t}}{{m}} v_{{0}} - \frac{{1}}{{2}}$Correction. 마지막 식의 $\displaystyle v_0$는 $\displaystyle v_n$이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \begin{aligned}x_{n+1}-x_n&=\left(\frac{k\Delta t}mv_{n+1}-\frac12\right)-\left(\frac{k\Delta t}mv_n-\frac12\right)\\&=\frac{k\Delta t}m(v_{n+1}-v_n)\end{aligned}$

$\displaystyle x_{{n}} \leq x_{{n + 1}} \Leftrightarrow v_{{n}} \leq v_{{n + 1}}$ ($\displaystyle \because \frac{{k \Delta t}}{{m}} > 0$)

그러므로 $\displaystyle x_{{n}}$이 증가하면 $\displaystyle v_{{n}}$도 증가하고, $\displaystyle x_{{n}}$이 감소하면 $\displaystyle v_{{n}}$도 감소한다. 지문에 주어진 (사실)에서 $\displaystyle x_{{n}}$이 증가하거나 $\displaystyle x_{{n}}$이 감소한다고 하였으므로, $\displaystyle v_{{n}}$이 증가하거나 $\displaystyle v_{{n}}$이 감소한다. 그러므로 $\displaystyle v_{{n}}$은 $\displaystyle v_{{0}}$와 종단속도 사이의 값이다.