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자연계열 3번

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홍익대 서울캠퍼스 2015학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2015su/jayeon_3

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문제

홍익이는 비오는 날 길을 걷다가 왜 높은 하늘에서 떨어지는 빗방울을 맞아도 사람이 다치지 않는지 궁금해졌다. 즉, 중력에 의해 빗방울의 속도가 점점 빨라져서 땅에 떨어질 시점에는 매우 큰 속도가 되어야 하는데 왜 실제로는 그렇지 않은지 궁금했다. 조사한 결과 속도가 커지면 공기의 저항력도 커지기 때문이라는 사실을 알게 되었다. 하늘에서 떨어지는 빗방울의 속도 v\displaystyle v를 시간 t\displaystyle t의 함수로 나타내었을 때, 홍익이는 상황을 단순화하여 v(t)\displaystyle v \left( t \right)가 다음의 운동방정식을 만족한다고 생각하였다.

mdvdt=mg−kv2\displaystyle m \frac{{d v}}{{d t}} = m g - k v^{{2}}

여기에서 양의 상수 m,g,k\displaystyle m , g , k는 각각 빗방울의 질량, 중력가속도, 공기의 저항계수를 나타낸다. 홍익이는 운동방정식을 풀기보다 자신이 알고 있는 수열을 이용하여 빗방울의 속도 변화를 나타내 보기로 하였다. 먼저 홍익이는 짧은 시간 간격 Δt\displaystyle \Delta t동안에 빗방울의 속도 변화는 대략 일정할 것이라고 가정하고, 초기 (t=0)\displaystyle \left( t = 0 \right)부터 시작하여 일정한 짧은 시간 간격 Δt\displaystyle \Delta t후의 빗방울의 속도 v0,v1,v2,⋯\displaystyle v_{{0}} , v_{{1}} , v_{{2}} , \cdots 는 다음 식을 만족한다고 생각하였다. (즉, vn\displaystyle v_{{n}}은 t=nΔt\displaystyle t = n \Delta t일 때의 속도)

mvn+1−vnΔt=mg−kvn2\displaystyle m \frac{{v_{{n + 1}} - v_{{n}}}}{{\Delta t}} = m g - k v_{n}^{2} (n≥0\displaystyle n \geq 0) ………… (식 1)

홍익이는 v0,v1,v2,⋯\displaystyle v_{{0}} , v_{{1}} , v_{{2}} , \cdots 의 변화를 살펴보기 위해 (식 1)을 아래의 꼴로 변환하였다.

xn+1=a−xn2\displaystyle x_{{n + 1}} = a - x_{n}^{2} (n≥0\displaystyle n \geq 0) ………………………… (식 2)

(식 2)로 주어지는 수열에 대해서 다음과 같은 사실이 알려져 있다.

(사실)

−14<a<0\displaystyle - \frac{{1}}{{4}} < a < 0이고 초기값이 −12≤x0≤0\displaystyle - \frac{{1}}{{2}} \leq x_{{0}} \leq 0이면 (식 2)로 주어지는 수열 x0,x1,\displaystyle x_{{0}} , x_{{1}} , x2,⋯\displaystyle x_{{2}} , \cdots 는 증가( 즉, x0≤x1≤x2≤⋯\displaystyle x_{{0}} \leq x_{{1}} \leq x_{{2}} \leq \cdots ) 하거나 감소 (즉, x0≥x1≥x2≥⋯\displaystyle x_{{0}} \geq x_{{1}} \geq x_{{2}} \geq \cdots )한다. 두 경우 모두 모든 n≥0\displaystyle n \geq 0에 대해 −12≤xn≤0\displaystyle - \frac{{1}}{{2}} \leq x_{{n}} \leq 0이 성립하고, 이 수열은 수렴한다.

(1) (식 1)을 (식 2)의 꼴로 변환하시오.

(2) 지문의 (사실)을 (1)에서 변환한 식에 적용하여 빗방울의 속도가 무한정 커지지 않고 일정한 속도(종단속도)에 이른다는 결론을 내리려 한다.

(a) 지문의 (사실)을 적용하기 위해서는 Δt\displaystyle \Delta t를 특정한 값보다 작게 설정해야 한다. 그 값을 상수 m,g,k\displaystyle m , g , k와 초기속도 v0\displaystyle v_{{0}}로 표현하고 그 과정을 기술하시오(단, v0≥0\displaystyle v_{{0}} \geq 0).

(b) 이 때 빗방울의 종단속도를 구하고, 모든 n≥0\displaystyle n \geq 0에 대해 vn\displaystyle v_{{n}}은 v0\displaystyle v_{{0}}와 종단속도 사이의 값임을 보이시오.

해설강의 준비중

홍익대 서울캠퍼스 2015학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2015su/jayeon_3

(1) (식 1)은 다음과 같은 과정을 거쳐 (식 2)로 변환될 수 있다.

mvn+1−vnΔt=mg−kvn2\displaystyle m \frac{{v_{{n + 1}} - v_{{n}}}}{{\Delta t}} = m g - k v_{n}^{2} ⇒ vn+1−vn=Δtg−kΔtmvn2\displaystyle v_{{n + 1}} - v_{{n}} = \Delta t g - \frac{{k \Delta t}}{{m}} v_{n}^{2} ⇒ vn+1=Δtg−kΔtmvn2+vn\displaystyle v_{{n + 1}} = \Delta t g - \frac{{k \Delta t}}{{m}} v_{n}^{2} + v_{{n}}

⇒ vn+1=−kΔtm{vn2−mkΔtvn+(m2kΔt)2−(m2kΔt)2}+gΔt\displaystyle v_{{n + 1}} = - \frac{{k \Delta t}}{{m}} \left\{ v_{n}^{2} - \frac{{m}}{{k \Delta t}} v_{{n}} + \left( \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right)^{{2}} - \left( \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right)^{{2}} \right\} + g \Delta t

(가) vn+1=−kΔtm(vn−m2kΔt)2+m4kΔt+gΔt\displaystyle v_{{n + 1}} = - \frac{{k \Delta t}}{{m}} \left( v_{{n}} - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right)^{{2}} + \frac{{m}}{{4 k \Delta t}} + g \Delta t

양변에 −m2kΔt\displaystyle - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}}을 더하면,

(나) vn+1−m2kΔt=−kΔtm(vn−m2kΔt)2−m4kΔt+gΔt\displaystyle v_{{n + 1}} - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} = - \frac{{k \Delta t}}{{m}} \left( v_{{n}} - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right)^{{2}} - \frac{{m}}{{4 k \Delta t}} + g \Delta t

양변에 kΔtm\displaystyle \frac{{k \Delta t}}{{m}}를 곱하면,

(다) kΔtm(vn+1−m2kΔt)=−(kΔtm)2(vn−m2kΔt)2−14+kΔtmgΔt\displaystyle \frac{{k \Delta t}}{{m}} \left( v_{{n + 1}} - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right) = - \left( \frac{{k \Delta t}}{{m}} \right)^{{2}} \left( v_{{n}} - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right)^{{2}} - \frac{{1}}{{4}} + \frac{{k \Delta t}}{{m}} g \Delta t

(라) xn=kΔtm(vn−m2kΔt)\displaystyle x_{{n}} = \frac{{k \Delta t}}{{m}} \left( v_{{n}} - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right), a=−14+gk(Δt)2m\displaystyle a = - \frac{{1}}{{4}} + \frac{{g k \left( \Delta t \right)^{{2}}}}{{m}}으로 놓으면 xn+1=a−xn2\displaystyle x_{{n + 1}} = a - x_{n}^{2}

(2-a)

(1)에서 x0=kΔtmv0−12\displaystyle x_{{0}} = \frac{{k \Delta t}}{{m}} v_{{0}} - \frac{{1}}{{2}}, a=−14+gk(Δt)2m\displaystyle a = - \frac{{1}}{{4}} + \frac{{g k \left( \Delta t \right)^{{2}}}}{{m}}인 것을 알 때 (사실)에서 주어진 조건을 해석할 수 있는지 묻는 문제이다.

(가) −14≤a≤0⇔−14≤gk(Δt)2m−14≤0⇔0≤gk(Δt)2m≤14⇔0≤(Δt)2≤14mgk\displaystyle \begin{aligned}-\frac14\le a\le0&\Leftrightarrow-\frac14\le\frac{gk(\Delta t)^2}m-\frac14\le0\\&\Leftrightarrow0\le\frac{gk(\Delta t)^2}m\le\frac14\\&\Leftrightarrow0\le(\Delta t)^2\le\frac14\frac m{gk}\end{aligned}

(나) −12≤x0<0\displaystyle - \frac{{1}}{{2}} \leq x_{{0}} < 0

(ⅰ) v0=0\displaystyle v_{{0}} = 0이면 x0=−12\displaystyle x_{{0}} = - \frac{{1}}{{2}}: 주어진 조건 만족

(ii) v0≠0\displaystyle v_0\ne0이면 −12≤x0≤0⇔−12≤kΔtmv0−12≤0⇔0≤Δt≤12mv0k\displaystyle \begin{aligned}-\frac12\le x_0\le0&\Leftrightarrow-\frac12\le\frac{k\Delta t}mv_0-\frac12\le0\\&\Leftrightarrow0\le\Delta t\le\frac12\frac m{v_0k}\end{aligned}

(가)와 (나) 모두 만족해야 하므로

v0=0\displaystyle v_{{0}} = 0이면 0≤Δt<12mgk\displaystyle 0 \leq \Delta t < \frac{{1}}{{2}} \sqrt{{\frac{{m}}{{g k}}}}

v0≠0\displaystyle v_{{0}} \ne 0이면 0≤Δt≤min⁡(12mv0k,12mgk)\displaystyle 0 \leq \Delta t \leq \min \left( \frac{{1}}{{2}} \frac{{m}}{{v_{{0}} k}} , \frac{{1}}{{2}} \sqrt{{\frac{{m}}{{g k}}}} \right)Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: 주어진 사실을 적용하려면 0<Δt<12mgk\displaystyle 0<\Delta t<\frac12\sqrt{\frac{m}{gk}}이어야 한다. v0>0\displaystyle v_0>0일 때에는 Δt≤m2kv0\displaystyle \Delta t\le\frac{m}{2kv_0}도 만족해야 한다. v0=0\displaystyle v_0=0이면 x0=−12\displaystyle x_0=-\frac12이므로 초기값 조건에 따른 추가 제한은 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2-b)

(가) 종단속도를 해석하는 방법에 따라 여러 가지로 구할 수 있다.

(ⅰ) (가속도)=0\displaystyle = 0, (ⅱ) lim⁡n→∞vn=v\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} {v_{{n}}} = v, (ⅲ) lim⁡n→∞xn=x\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} {x_{{n}}} = x일 때 vn\displaystyle v_{{n}}의 극한

(ⅰ) mdvdt=mg−kv2\displaystyle m \frac{{d v}}{{d t}} = m g - k v^{{2}}에서 dvdt=0\displaystyle \frac{{d v}}{{d t}} = 0이므로 v=mgk\displaystyle v = \sqrt{{\frac{{m g}}{{k}}}}

(ⅱ) (식 1)에서 lim⁡n→∞vn=v\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} {v_{{n}}} = v

mv−vΔt=mg−kv2\displaystyle m \frac{{v - v}}{{\Delta t}} = m g - k v^{{2}}이므로 v=mgk\displaystyle v = \sqrt{{\frac{{m g}}{{k}}}}

(ⅲ) lim⁡n→∞xn=x\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} {x_{{n}}} = x이면 x=−1±1+4a2\displaystyle x = \frac{{- 1 ± \sqrt{{1 + 4 a}}}}{{2}}

x=kΔtmv−12\displaystyle x = \frac{{k \Delta t}}{{m}} v - \frac{{1}}{{2}}이고 x≥−12\displaystyle x \geq - \frac{{1}}{{2}}이므로 v=(x+12)mkΔt\displaystyle v = \left( x + \frac{{1}}{{2}} \right) \frac{{m}}{{k \Delta t}}에서 v=mgk\displaystyle v = \sqrt{{\frac{{m g}}{{k}}}}

(나)

xn=kΔtm(vn−m2kΔt)=kΔtmv0−12\displaystyle x_{{n}} = \frac{{k \Delta t}}{{m}} \left( v_{{n}} - \frac{{m}}{{2 k \Delta t}} \right) = \frac{{k \Delta t}}{{m}} v_{{0}} - \frac{{1}}{{2}}Correction. 마지막 식의 v0\displaystyle v_0는 vn\displaystyle v_n이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

xn+1−xn=(kΔtmvn+1−12)−(kΔtmvn−12)=kΔtm(vn+1−vn)\displaystyle \begin{aligned}x_{n+1}-x_n&=\left(\frac{k\Delta t}mv_{n+1}-\frac12\right)-\left(\frac{k\Delta t}mv_n-\frac12\right)\\&=\frac{k\Delta t}m(v_{n+1}-v_n)\end{aligned}

xn≤xn+1⇔vn≤vn+1\displaystyle x_{{n}} \leq x_{{n + 1}} \Leftrightarrow v_{{n}} \leq v_{{n + 1}} (∵kΔtm>0\displaystyle \because \frac{{k \Delta t}}{{m}} > 0)

그러므로 xn\displaystyle x_{{n}}이 증가하면 vn\displaystyle v_{{n}}도 증가하고, xn\displaystyle x_{{n}}이 감소하면 vn\displaystyle v_{{n}}도 감소한다. 지문에 주어진 (사실)에서 xn\displaystyle x_{{n}}이 증가하거나 xn\displaystyle x_{{n}}이 감소한다고 하였으므로, vn\displaystyle v_{{n}}이 증가하거나 vn\displaystyle v_{{n}}이 감소한다. 그러므로 vn\displaystyle v_{{n}}은 v0\displaystyle v_{{0}}와 종단속도 사이의 값이다.

문제에서 요구하는 바를 구하고 풀이과정과 설명이 정확하면 만점이다.

문제의 답은 맞으나 논리적인 기술이 부족한 경우 감점한다.

(1)에서 문제에서 요구하는 형태로 식을 변환하지 못하였으나 이 과정을 이해하고 중간 단계까지 변환한 경우 부분점수를 부여한다.

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