자연계열 1번

(1) 작은 직사각형들은 모두 높이가 같으므로 면적의 비는 아랫변의 길이의 비와 같다.

따라서$\displaystyle r_{{1}} = \frac{{\overline{{O P_{{2}}}}}}{{\overline{{O P_{{1}}}}}} = \frac{{A_{{2}} + \cdots + A_{{5}}}}{{A_{{1}} + A_{{2}} + \cdots + A_{{5}}}}$이다.

마찬가지로 $\displaystyle k = 1 , 2 , 3 , 4$각 경우에 $\displaystyle r_{{k}} = \frac{{\overline{{O P_{{k + 1}}}}}}{{\overline{{O P_{{k}}}}}} = \frac{{A_{{k + 1}} + \cdots + A_{{5}}}}{{A_{{k}} + A_{{k + 1}} + \cdots + A_{{5}}}}$ 이다.

(2) (그림 2)에서 $\displaystyle A_{{1}}$으로 표시된 직사각형을 제외한 부분의 면적의 전체 면적에 대한 비는

$\displaystyle r_1=\frac{A_2+\cdots+A_5}{A_1+A_2+\cdots+A_5}=\frac{\overline{OQ_2}\cdot\overline{OR_1}}{\overline{OQ_1}\cdot\overline{OR_1}}=\frac{\overline{OQ_2}}{\overline{OQ_1}}$이다.

이제 남은 직사각형에서 $\displaystyle A_{{2}}$로 표시된 직사각형을 제외한 부분의 비는

$\displaystyle r_2=\frac{A_3+\cdots+A_5}{A_2+A_3+\cdots+A_5}=\frac{\overline{OR_2}\cdot\overline{OQ_2}}{\overline{OR_1}\cdot\overline{OQ_2}}=\frac{\overline{OR_2}}{\overline{OR_1}}$이다.

마찬가지로 계속하면 $\displaystyle r_3=\frac{\overline{OQ_3}}{\overline{OQ_2}},\ r_4=\frac{\overline{OR_3}}{\overline{OR_2}}$이다.

(3) 각 $\displaystyle k = 1 , 2 , \cdots , n - 1$에 대해 $\displaystyle r_{{k}} = \frac{{A_{{k + 1}} + \cdots + A_{{n}}}}{{A_{{k}} + A_{{k + 1}} + \cdots + A_{{n}}}}$라 하자.

직사각형의 오른쪽 아래 꼭지점, 왼쪽 위 꼭지점, 왼쪽 아래 꼭지점을 각각 $\displaystyle Q_{{1}} , R_{{1}} , O$ 라 하고 직사각형의 아랫변과 왼쪽변에 점 $\displaystyle Q_{{2}} , Q_{{3}} , \cdots$와 $\displaystyle R_{{2}} , R_{{3}} , \cdots$를 다음의 비에 따라 표시한다.

$\displaystyle r_1=\frac{\overline{OQ_2}}{\overline{OQ_1}},\ r_2=\frac{\overline{OR_2}}{\overline{OR_1}},\ r_3=\frac{\overline{OQ_3}}{\overline{OQ_2}},\ r_4=\frac{\overline{OR_3}}{\overline{OR_2}},\ r_5=\frac{\overline{OQ_4}}{\overline{OQ_3}},\ r_4=\frac{\overline{OR_4}}{\overline{OR_3}},\ \cdots$Correction. $\displaystyle \frac{\overline{OR_4}}{\overline{OR_3}}$ 앞의 $\displaystyle r_4$는 $\displaystyle r_6$이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

먼저 직사각형을 $\displaystyle Q_{{2}}$에서 세로로 나누고 꼭지점 $\displaystyle O$ 를 포함하지 않는 부분을 $\displaystyle A_{{1}}$이라 표시한다. 남은 직사각형을 $\displaystyle R_{{2}}$에서 가로로 나누고 꼭지점 $\displaystyle O$ 를 포함하지 않는 부분을 $\displaystyle A_{{2}}$이라 표시한다. 이를 반복한다. 마지막에 $\displaystyle O$ 를 포함하는 부분을 $\displaystyle A_{{n}}$이라 표시한다.

(4) $\displaystyle r_{{1}} = A_{{2}} + \cdots + A_{{n}} , r_{{1}} r_{{2}} = A_{{3}} + \cdots + A_{{n}}$이고 일반적으로 $\displaystyle k = 1 , 2 , \cdots , n - 1$에 대해 $\displaystyle r_{{1}} r_{{2}} \cdots r_{{k}} = A_{{k + 1}} + \cdots + A_{{n}}$이다. 따라서

$\displaystyle A_{{1}} = ( A_{{1}} + \cdots + A_{{n}} ) - ( A_{{2}} + \cdots + A_{{n}} ) = 1 - r_{{1}} .$

$\displaystyle A_{{2}} = ( A_{{2}} + \cdots + A_{{n}} ) - ( A_{{3}} + \cdots + A_{{n}} ) = r_{{1}} - r_{{1}} r_{{2}} = r_{{1}} ( 1 - r_{{2}} )$이고 일반적으로

$\displaystyle A_{{k}} = ( A_{{k}} + \cdots + A_{{n}} ) - ( A_{{k + 1}} + \cdots + A_{{n}} ) = r_{{1}} r_{{2}} \cdots r_{{k - 1}} - r_{{1}} r_{{2}} \cdots r_{{k}} = r_{{1}} r_{{2}} \cdots r_{{k - 1}} ( 1 - r_{{k}} )$이다.Caution. 일반식을 구한 뒤에는 적용 범위와 작은 경우의 예외를 확인해야 한다: $\displaystyle A_1=1-r_1$이고, $\displaystyle 2\le k\le n-1$일 때 $\displaystyle A_k=r_1r_2\cdots r_{k-1}(1-r_k)$이다. 마지막 조각은 남은 부분 전체이므로 $\displaystyle A_n=r_1r_2\cdots r_{n-1}$로 따로 써야 한다. 이 문제에서 $\displaystyle r_n$은 정의되어 있지 않다.