자연계열 3번

(1) $\displaystyle F ( x )$ 는 좌표평면에서 중심이 원점이며 반지름이 $\displaystyle x$인 원 안에 포함된 정수 순서쌍의 개수와 같다. 원점을 제외한 임의의 한 점이 이러한 원 안에 포함되면, $\displaystyle 90^\circ$씩 회전하여 나타나는 4개의 점들이 동시에 포함된다. 그러므로 원점을 제외하면 원 안에 포함된 점의 개수는 4의 배수이다. 원점은 항상 포함되므로 총 개수를 4로 나눈 나머지는 1이다.

(2) $\displaystyle F(\sqrt{115})$은 $\displaystyle m^2+n^2\le115$인 모든 정수 순서쌍 $\displaystyle (m,n)$의 개수이며, $\displaystyle F(\sqrt{116})$은 $\displaystyle m^2+n^2\le116$인 모든 정수 순서쌍 $\displaystyle (m,n)$의 개수이다. 이때 $\displaystyle m^2+n^2$의 값은 항상 정수이므로, $\displaystyle 115<m^2+n^2<116$인 순서쌍 $\displaystyle (m,n)$은 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle F(\sqrt{116})$에 새로 추가되는 점들은 $\displaystyle m^2+n^2=116$인 정수 순서쌍의 개수이다. 이를 구하기 위해 116이 언제 두 제곱수의 합으로 나타나는지 살펴보자. $\displaystyle 116<11^2$이므로 $\displaystyle 10^2$이하의 제곱수의 집합 $\displaystyle \{0^2,1^2,2^2,\cdots,10^2\}=\{0,1,4,\cdots,100\}$을 고려하면 충분하다. 이들 중 두 제곱수의 합이 116이 되는 경우는 $\displaystyle 116=16+100=100+16$밖에 없다. 그러므로 $\displaystyle m^2+n^2=116$인 정수 순서쌍은 제1사분면에 $\displaystyle (4,10),(10,4)$ 두 개가 있고, 나머지 사분면에도 두 개씩 있으므로 총 8개 (즉, $\displaystyle (4,10),(-4,10),(4,-10),(-4,-10),(10,4),(-10,4),(10,-4),(-10,-4)$)이다. 그러므로 $\displaystyle F(\sqrt{116})=F(\sqrt{115})+8=365$이다.

(3) 주어진 그림과 같이 중심이 원점이며 반지름이 $\displaystyle x$인 원 안에 포함된 정수 순서쌍 $\displaystyle ( m , n )$에 그 점을 중심으로 갖는 단위면적의 정사각형과의 일대일 대응을 고려하면, 색칠된 영역은 이 정사각형들의 합집합이므로 $\displaystyle F ( x )$와 넓이가 같다. 색칠된 영역에 있는 임의의 점 $\displaystyle ( a , b )$는 원점으로부터의 거리가 $\displaystyle x$이하인 어떤 정수 순서쌍 $\displaystyle ( m , n )$을 중심으로 갖는 단위 정사각형에 포함되므로 $\displaystyle ( m , n )$과 $\displaystyle ( a , b )$사이의 거리는 $\displaystyle \frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}}$이하이다. 삼각형의 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합 이하이므로 $\displaystyle ( a , b )$와 원점 사이의 거리는 $\displaystyle x + \frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}}$이하이다. 즉, 색칠된 영역은 반지름$\displaystyle x + \frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}}$인 원 안에 포함되므로, 두 넓이를 비교하면 $\displaystyle F ( x ) \leq \pi {\left( x + \frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}} \right)}^{{2}}$를 얻는다. 비슷하게, 색칠된 영역에 포함되지 않은 임의의 점 $\displaystyle ( c , d )$는 원점 으로부터의 거리가 $\displaystyle x$보다 큰 어떤 정수 순서쌍 $\displaystyle ( m , n )$을 중심으로 갖는 단위 정사각형에 포함되고, 역시 $\displaystyle ( m , n )$과 $\displaystyle ( c , d )$사이의 거리는$\displaystyle \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}$이하이다. 그러므로 $\displaystyle ( c , d )$와 원점 사이의 거리는 $\displaystyle x - \frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}}$보다 크다. 즉, 반지름 $\displaystyle x - \frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}}$ 인 원은 색칠된 영역에 포함되므로$\displaystyle \pi {\left( x - \frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}} \right)}^{{2}} \leq F ( x )$이다.

(4) $\displaystyle x \geq \frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}}$일 때, 위 문항에서 구한 부등식 $\displaystyle \pi {\left( x - \frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}} \right)}^{{2}} \leq F ( x ) \leq \pi {\left( x + \frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}} \right)}^{{2}}$으로부터 부등식 $\displaystyle \pi \frac{{{( x - \sqrt{{2}} / 2 )}^{{2}}}}{{x^{{2}}}} \leq \frac{{F ( x )}}{{x^{{2}}}} \leq \pi \frac{{( x + \sqrt{{2}} / 2 )^{{2}}}}{{x^{{2}}}}$을 얻는다. $\displaystyle x \to \infty$일 때 부등식의 좌, 우 항이 모두 $\displaystyle \pi$로 수렴하므로 $\displaystyle \frac{{F ( x )}}{{x^{{2}}}}$도 $\displaystyle \pi$로 수렴한다.