자연계열 2번

(1) $\displaystyle B$ 승강기는 2층에 정차하지 않으므로 1층에서 3층까지 소요시간은 항상 3초이다.$\displaystyle A$ 승강기는 2층에 정차하지 않으면 1층부터 3층까지 소요시간이 2초, 2층에 정차하면 1초+12초+1초=14초이다. 따라서 $\displaystyle A$ 승강기가 $\displaystyle B$ 승강기보다 3층에 먼저 도착하는 확률은 2층에 대기자가 없을 경우의 확률이며 이는 $\displaystyle 1 - \frac{{1}}{{3}} = \frac{{2}}{{3}}$이다.

(2) 가능한 아래의 4가지 경우에 대해 각각 확률과 승강기 운행 총소요시간을 계산하면

① 2층, 3층에 모두 대기자가 없는 경우 (확률:$\displaystyle 1 - \frac{{1}}{{3}} - \frac{{1}}{{4}} + \frac{{1}}{{3}} \times \frac{{1}}{{4}} = \frac{{1}}{{2}}$)

$\displaystyle A$ 승강기: 1초+1초+1초+1초=4초

$\displaystyle B$ 승강기: 3초+3초=6초

$\displaystyle A$ 승강기 먼저 5층 도착

② 2층에만 대기자가 있는 경우 (확률:$\displaystyle \frac{{1}}{{3}} - \frac{{1}}{{3}} \times \frac{{1}}{{4}} = \frac{{1}}{{4}}$)

2층에 정차할 수 있는 승강기는 $\displaystyle A$뿐이므로 2층에서 대기하는 이용자는 모두 승강기 A를 이용한다.

$\displaystyle A$ 승강기: 1초+12초+1초+1초+1초=16초

$\displaystyle B$ 승강기: 3초+3초=6초

$\displaystyle B$ 승강기 먼저 5층 도착

③ 3층에만 대기자가 있는 경우 (확률:$\displaystyle \frac{{1}}{{4}} - \frac{{1}}{{3}} \times \frac{{1}}{{4}} = \frac{{1}}{{6}}$ )

1층에서 동시에 출발하고 2층에 대기자가 없으면 $\displaystyle A$ 승강기는 1초+1초=2초 후에 3층에 도착하며 $\displaystyle B$ 승강기는 3층에 3초 후에 도착한다. 따라서 3층에 대기하고 있는 이용자는 모두 $\displaystyle A$ 승강기를 이용하고, 이후 대기 승객이 없으므로 $\displaystyle B$ 승강기는 3층에 멈추지 않고 5층까지 이동한다.

$\displaystyle A$ 승강기: 1초+1초+12초+1초+1초=16초

$\displaystyle B$ 승강기: 3초+3초=6초

$\displaystyle B$ 승강기 먼저 5층 도착

④ 2층, 3층에 모두 대기자가 있는 경우 (확률: $\displaystyle \frac{{1}}{{3}} \times \frac{{1}}{{4}} = \frac{{1}}{{12}}$)

2층에 정차할 수 있는 승강기는 $\displaystyle A$ 승강기뿐이므로 $\displaystyle A$ 승강기가 2층에 정차하여 2층 대기자가 승차하고, 3층에는 $\displaystyle B$ 승강기가 먼저 도착하여 3층 대기자는 모두 $\displaystyle B$ 승강기에 승차한다. 따라서 $\displaystyle A$ 승강기는 2층에 한번, $\displaystyle B$ 승강기는 3층에 한번 정차한다.

$\displaystyle A$ 승강기: 1초+12초+1초+1초+1초=16초

$\displaystyle B$ 승강기: 3초+12초+3초=18초

$\displaystyle A$ 승강기 먼저 5층 도착

따라서 $\displaystyle A$ 승강기가 5층에 먼저 도착하는 경우는 ①과 ④이며 그 확률은$\displaystyle \frac{{1}}{{2}} + \frac{{1}}{{12}} = \frac{{7}}{{12}}$ 이다.

(3) $\displaystyle A$ 승강기 소요시간 기댓값: $\displaystyle 4 \times \frac{{1}}{{2}} + 16 \times \frac{{1}}{{4}} + 16 \times \frac{{1}}{{6}} + 16 \times \frac{{1}}{{12}} = 10$초

$\displaystyle B$ 승강기 소요시간 기댓값: $\displaystyle 6 \times \frac{{1}}{{2}} + 6 \times \frac{{1}}{{4}} + 6 \times \frac{{1}}{{6}} + 18 \times \frac{{1}}{{12}} = 7$초

(4) 문항 (2) 풀이에 의하면 $\displaystyle A$ 승강기가 5층에 먼저 도착하는 경우의 확률이 $\displaystyle \frac{7}{12}$, $\displaystyle B$ 승강기가 5층에 먼저 도착하는 경우의 확률이 $\displaystyle \frac{5}{12}$이므로 $\displaystyle A$ 승강기를 선택하는 것이 유리하다.