자연계열 1번

1-1. 모든 정수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle \cos ( k + n ) = \cos ( k )$가 성립하는 양의 정수 $\displaystyle n$이 있다고 가정하자. $\displaystyle k = 0$일 때 $\displaystyle \cos ( 0 + n ) = \cos ( 0 )$이고, $\displaystyle \cos ( n ) = \cos ( 0 ) = 1$이므로 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 2 \pi$의 정수배이다. 즉, $\displaystyle n = m 2 \pi$인 정수 $\displaystyle m$이 존재한다. $\displaystyle n \ne 0$이므로 $\displaystyle m \ne 0$이다.

따라서 $\displaystyle \pi = \frac{n}{2m}$인데, $\displaystyle \pi$는 무리수이고, 분수 $\displaystyle \frac{n}{2m}$는 유리수이므로 이는 모순이다.

1-2. 수학적 귀납법을 이용하여 모든 양의 정수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle f ( x + n p ) = f ( x )$가 성립함을 보이자. $\displaystyle n = 1$일 때 $\displaystyle p$가 주기이므로 주기함수의 정의에 의해 $\displaystyle f ( x + p ) = f ( x )$이다.

$\displaystyle n = k$일 때 성립한다고 가정하면 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f ( x + k p ) = f ( x )$이다.

따라서 $\displaystyle f ( x + ( k + 1 ) p ) = f ( ( x + k p ) + p ) = f ( x + k p ) = f ( x )$이다. 즉, $\displaystyle n = k + 1$일 때도 성립한다. 그러므로 수학적 귀납법에 의해 모든 양의 정수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle f ( x + n p ) = f ( x )$가 성립한다.

1-3. 가정에 의해 $\displaystyle \frac{p_{{1}}}{p_{{2}}} = \frac{n}{m}$인 정수 $\displaystyle n$, $\displaystyle m$이 있다.

함수의 주기 $\displaystyle p_{{1}}$, $\displaystyle p_{{2}}$는 양수이므로 $\displaystyle \frac{p_{{1}}}{p_{{2}}} = \frac{n}{m}$는 양수이고 따라서 $\displaystyle n$, $\displaystyle m$도 양수라 가정할 수 있다. $\displaystyle \frac{p_{{1}}}{p_{{2}}} = \frac{n}{m}$로부터 $\displaystyle m p_{{1}} = n p_{{2}}$이다. 이 값을 $\displaystyle p$라 하면 $\displaystyle p$는 양수이다.

(2)의 결과로부터 $\displaystyle f_{{1}} ( x + n p_{{1}} ) = f_{{1}} ( x )$, $\displaystyle f_{{2}} ( x + m p_{{2}} ) = f_{{2}} ( x )$이므로, 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle g ( x + p ) = f_{{1}} ( x + m p_{{1}} ) + f_{{2}} ( x + n p_{{2}} ) = f_{{1}} ( x ) + f_{{2}} ( x ) = g ( x )$이 성립하므로 $\displaystyle g$도 주기함수이다.

1-4. $\displaystyle f ( x ) = \cos ( 2 \pi x ) + \cos \left( 2 \frac{\pi }{\sqrt{2}} x \right)$가 주기가 $\displaystyle p$인 주기 함수라고 하면, $\displaystyle f ( x ) = f ( x + p )$의 관계가 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 성립하여야 한다. 즉 $\displaystyle x = 0$일 때 $\displaystyle f ( 0 + p ) = f ( 0 )$인 관계가 성립해야 한다.

$\displaystyle f ( 0 ) = \cos ( 0 ) + \cos ( 0 ) = 2$이므로 $\displaystyle f ( p ) = \cos ( 2 \pi p ) + \cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} 2 \pi p \right) = 2$이다.

$\displaystyle \cos ( x ) \le 1$이므로 $\displaystyle \cos ( 2 \pi p ) = 1$이고 $\displaystyle \cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} 2 \pi p \right) = 1$일 때만 $\displaystyle \cos ( 2 \pi p ) + \cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} 2 \pi p \right) = 2$가 성립한다. $\displaystyle \cos ( 2 \pi p ) = 1$이므로 $\displaystyle p$는 정수이고, $\displaystyle \cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} 2 \pi p \right) = 1$이므로 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} p$도 정수이어야 한다. 주기 $\displaystyle p$가 양수이므로 적당한 양의 정수 $\displaystyle n$, $\displaystyle m$이 있어서 $\displaystyle p = n$, $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} p = m$이어야 한다. 즉, $\displaystyle \sqrt{2} = \frac{n}{m}$이다. $\displaystyle \sqrt{2}$는 무리수이고, 분수 $\displaystyle \frac{n}{m}$는 유리수이므로 이는 모순이다.