자연계열 3번

3-1. 주어진 두 점 $\displaystyle A,B$의 수직이등분선은 $\displaystyle y$축이다. 좌표평면 상의 점 $\displaystyle P=(x,y)$에 대해

$\displaystyle \overline{PA}<\overline{PB}\ \Leftrightarrow\ \overline{PA}^{\,2}<\overline{PB}^{\,2}\ \Leftrightarrow\ (x-a)^2+y^2<(x+a)^2+y^2\ \Leftrightarrow\ -4ax<0\ \Leftrightarrow\ x>0$즉, $\displaystyle { U} ( A , \ B ) = \left\{ ( x , \ y ) | x > 0 \right\}$는 $\displaystyle y$축 오른쪽의 영역이다.

3-2.

위 왼쪽 그림에서 $\displaystyle L ( A B )$, $\displaystyle L ( B C )$, $\displaystyle L ( A C )$로 표시된 직선은 각각 선분 $\displaystyle A B$, 선분 $\displaystyle B C$, 선분 $\displaystyle A C$의 수직이등분선이다. 그림에서 4번 영역은 $\displaystyle L ( A B )$의 $\displaystyle B$쪽, $\displaystyle L ( B C )$의 $\displaystyle C$쪽이다. 따라서 1에 의해 4번 영역(내부)의 임의의 점 $\displaystyle P$에 대해 $\displaystyle \overline{PB} < \overline{PA}$, $\displaystyle \overline{PC} < \overline{PB}$이다. 즉, 4번 영역은 $\displaystyle U ( C , \ B , \ A )$이다. 마찬가지로 나머지 영역은 위 오른쪽 그림과 같음을 알 수 있다.

※ 엄밀히 말하면 위의 설명은 4번 영역이 $\displaystyle U ( C , \ B , \ A )$에 포함됨을 보인 것이다. 평면의 나머지 $\displaystyle 1 \sim 3 , \ 5 , \ 6$번 부분은 각각 다른 영역에 포함되므로 $\displaystyle U ( C , \ B , \ A )$는 4번 영역으로 한정됨을 알 수 있다.

3-3.

2번 영역이 $\displaystyle U ( C , \ B , \ A )$라면 2번 영역의 임의의 점 $\displaystyle P$에 대해 $\displaystyle \overline{PB} < \overline{PA}$, $\displaystyle \overline{PC} < \overline{PB}$, $\displaystyle \overline{PC} < \overline{PA}$이다.

그림에서 세 직선 $\displaystyle L , \ L^{\prime} , \ L^{\prime\prime}$은 각각 선분 $\displaystyle A B$, $\displaystyle B C$, $\displaystyle C A$의 수직이등분선 중 하나이다. 2, 3번 영역이 선분 $\displaystyle A B$의 수직이등분선에 대해 같은 쪽에 있다면 두 영역의 점들에서 $\displaystyle \overline{PA}$, $\displaystyle \overline{PB}$의 대소 관계는 변하지 않고, 2, 3번 영역이 선분 $\displaystyle A B$의 수직이등분선의 반대쪽에 있다면 두 영역의 점들에서 $\displaystyle \overline{PA}$, $\displaystyle \overline{PB}$의 대소 관계는 반대가 된다. 선분 $\displaystyle B C$, $\displaystyle C A$의 수직이등분선들에 대해서도 마찬가지로 생각할 수 있다.

2, 3번 영역은 직선 $\displaystyle L^{\prime}$에 대해서는 서로 반대쪽에 있고 나머지 두 직선 $\displaystyle L , \ L^{\prime\prime}$에 대해서는 같은 쪽에 있다. 따라서 2번과 인접한 3번 영역에서 $\displaystyle \overline{PA}$와 $\displaystyle \overline{PB}$, $\displaystyle \overline{PB}$와 $\displaystyle \overline{PC}$, $\displaystyle \overline{PA}$와 $\displaystyle \overline{PC}$의 세 쌍의 대소관계 중 1개는 반대가 되고, 2개는 변화가 없어야 한다. 즉 3번 영역은 아래 세 가지 경우 중 하나에 해당한다.

① $\displaystyle \overline{PA} < \overline{PB} , \ \overline{PC} < \overline{PB} , \ \overline{PC} < \overline{PA}$

② $\displaystyle \overline{PB} < \overline{PA} , \ \overline{PB} < \overline{PC} , \ \overline{PC} < \overline{PA}$

③ $\displaystyle \overline{PB} < \overline{PA} , \ \overline{PC} < \overline{PB} , \ \overline{PA} < \overline{PC}$

이 중 ③은 모순되는 식이고 ($\displaystyle \overline{PB} < \overline{PA} < \overline{PC} < \overline{PB}$이므로) ①, ②는 각각 $\displaystyle U ( C , \ A , \ B )$, $\displaystyle U ( B , \ C , \ A )$에 해당한다.

3-4. 1, 2번 영역이 각각 $\displaystyle U ( B , \ A , \ C )$, $\displaystyle U ( B , \ C , \ A )$이라 하자. 3에서와 같이 영역 $\displaystyle U ( B , \ C , \ A )$에 인접한 3번 영역은 $\displaystyle U ( B , \ A , \ C )$, $\displaystyle U ( C , \ B , \ A )$ 중 하나이어야 하므로 3번 영역은 $\displaystyle U ( C , \ B , \ A )$이다.

$\displaystyle U ( C , \ B , \ A )$와 인접한 영역은 $\displaystyle U ( B , \ C , \ A )$, $\displaystyle U ( C , \ A , \ B )$ 중 하나이므로 4번 영역은 $\displaystyle U ( C , \ A , \ B )$이고, 마찬가지로 $\displaystyle U ( C , \ A , \ B )$와 인접한 영역은 $\displaystyle U ( C , \ B , \ A )$, $\displaystyle U ( A , \ C , \ B )$ 중 하나이므로 5번 영역은 $\displaystyle U ( A , \ C , \ B )$이다.

3-5. 1번 영역은 $\displaystyle U ( A , \ B , \ C )$, $\displaystyle U ( A , \ C , \ B )$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle U ( C , \ B , \ A )$ 중 어느 것도 될 수 있다. 가령 1번 영역이 $\displaystyle U ( A , \ B , \ C )$가 되는 평면상의 세 점 $\displaystyle A , \ B , \ C$가 주어졌을 때 두 점 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$의 위치를 서로 교환하면 1번 영역은 $\displaystyle U ( B , \ A , \ C )$가 된다. (아래 설명과 그림 참고) 즉, 1번 영역은 하나의 배열로부터 세 점 $\displaystyle A , \ B , \ C$의 위치를 서로 교환함으로써 $\displaystyle U ( A , \ B , \ C )$, $\displaystyle U ( A , \ C , \ B )$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle U ( C , \ B , \ A )$ 중 어느 것도 될 수 있다.

1번 영역이 $\displaystyle U ( A , \ B , \ C )$가 되는 평면상의 세 점 $\displaystyle A , \ B , \ C$가 주어졌다면 3에서와 같이 2번 영역은 $\displaystyle U ( A , \ C , \ B )$ 또는 $\displaystyle U ( B , \ A , \ C )$이다. 1, 2번 영역이 정해지면 4에서와 같이 3 ~ 6번 영역이 모두 결정된다. 따라서 1번 영역이 $\displaystyle U ( A , \ B , \ C )$인 배열은 최대 2개이다.

두 배열이 모두 가능함은 다음과 같이 설명할 수 있다. 1번 영역이 $\displaystyle U ( A , \ B , \ C )$인 배열이 하나는 존재한다. 만약 이 배열에서 2번 영역이 $\displaystyle U ( A , \ C , \ B )$이라면 세 점 $\displaystyle A , \ B , \ C$에서 $\displaystyle A$와 $\displaystyle C$의 위치를 교환하고 세 직선 $\displaystyle L , \ L^{\prime} , \ L^{\prime\prime}$의 교점 (즉, 삼각형 $\displaystyle A B C$의 외심)을 중심으로 $\displaystyle 180$도 회전시키면 (즉, 이와 같이 얻은 위치의 세 점 $\displaystyle A , \ B , \ C$에 대해서) 1, 2번 영역은 각각 $\displaystyle U ( A , \ B , \ C )$, $\displaystyle U ( B , \ A , \ C )$이다. (아래 설명과 그림 참고) 따라서 가능한 모든 배열의 개수는 $\displaystyle 6 \times 2 = 12$이다.

※ 특정한 위치의 세 점 $\displaystyle A , \ B , \ C$에 의해 (즉, $\displaystyle A , \ B , \ C$까지 거리의 순서에 의해) [그림 2]와 같이 평면이 나누어졌다하자. 세 점 $\displaystyle A , \ B , \ C$의 위치를 서로 교환하면 (또는 세 점의 이름을 바꾸면) 1$\displaystyle \sim 6$번 영역이 각각 $\displaystyle U ( A , \ B , \ C )$, $\displaystyle U ( A , \ C , \ B )$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle U ( C , \ B , \ A )$ 중 무엇에 해당하는 지가 바뀐다. (또는 1 ~ 6번 영역의 이름이 바뀐다.) 예를 들어 [그림 1]에서 $\displaystyle A , \ B$의 위치를 교환하면

이와 같이 세 점 $\displaystyle A , \ B , \ C$의 위치를 교환하여 얻는 경우의 수는 $\displaystyle 3 ! = 6$이다. 이제 각각의 경우 세 직선의 교점 (즉, 삼각형 $\displaystyle A B C$의 외심)을 중심으로 $\displaystyle 180$도 회전하면 새로운 배열을 얻는다.

예를 들어 [그림 1]에서

따라서 1 ~ 6번 영역에 해당하는 $\displaystyle U ( A , \ B , \ C )$, $\displaystyle U ( A , \ C , \ B )$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle U ( C , \ B , \ A )$의 $\displaystyle 3 ! \times 2 = 12$개의 배열을 얻는다.