자연계열 2번

2-1 $\displaystyle n$개의 두더지 로봇 중 게임시작 후 $\displaystyle 1$초에 특정한 하나(가령, 첫 번째 두더지 로봇)만 나타나고 나머지 $\displaystyle ( n - 1 )$개는 나타나지 않을 확률은 $\displaystyle p ( 1 - p )^{{n - 1}}$이다. 첫 번째 두더지만 나타나는 사건, 두 번째 두더지만 나타나는 사건, $\displaystyle \cdots$은 서로 배반사건이므로 $\displaystyle n$개 중 하나만 나타날 확률은 각 사건의 확률의 합 즉, $\displaystyle r = n p ( 1 - p )^{{n - 1}} = n p q^{{n - 1}}$이다. (참고) 특정한 시점에 나타나는 두더지 로봇의 수 $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle { B} ( n , \ p )$를 가지는 확률변수이다. 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle { P} ( X = 1 ) = {}_{n}\mathrm C_1 p ( 1 - p )^{{n - 1}} = n p ( 1 - p )^{{n - 1}}$이다.

2-2. 구간 $\displaystyle 0 \le p \le 1$에서 함수 $\displaystyle f ( p ) = n p ( 1 - p )^{{n - 1}}$가 최대가 되는 $\displaystyle p$의 값과 이때 최댓값을 구하기 위해 구간 $\displaystyle 0 < p < 1$에서 함수 $\displaystyle f$의 증감을 도함수를 이용하여 파악한다. 또는 구간 $\displaystyle 0 < p < 1$에서 함수 $\displaystyle f$의 극값을 구하고 구간의 양끝에서의 함숫값 $\displaystyle f ( 0 )$, $\displaystyle f ( 1 )$과 비교하여 최댓값을 구할 수 있다.

$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(p)&=n(1-p)^{n-1}-n(n-1)p(1-p)^{n-2}\\&=n(1-p)^{n-2}((1-p)-(n-1)p)\\&=n(1-p)^{n-2}(1-np)\end{aligned}$

이므로 $\displaystyle p = \frac{1}{n}$일 때 $\displaystyle f^{\prime} ( p ) = 0$이다.Caution. $\displaystyle n=1$이면 $\displaystyle r=p$이므로 $\displaystyle p=1$에서 최댓값 $\displaystyle 1$을 갖는다. 도함수가 $\displaystyle 0$이 되는 점을 이용한 위 풀이는 $\displaystyle n\ge2$일 때 적용된다.

$\displaystyle 0 < p < \frac{1}{n}$이면 $\displaystyle f^{\prime} ( p ) > 0$이어서 $\displaystyle f$는 이 구간에서 증가하고, $\displaystyle \frac{1}{n} < p < 1$이면 $\displaystyle f^{\prime} ( p ) < 0$이므로 $\displaystyle f$는 이 구간에서 감소한다. 따라서 그래프의 개형을 고려하면 함수 $\displaystyle f$는 구간 $\displaystyle 0 \le p \le 1$에서 $\displaystyle p = \frac{1}{n}$일 때 최댓값 $\displaystyle \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{{n - 1}}$을 취한다. $\displaystyle n \to \infty$일 때 이 값의 극한은

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^{n-1}&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-1}n\right)^{n-1}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1{\left(\frac n{n-1}\right)^{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac1{\left(1+\frac1{n-1}\right)^{n-1}}=\frac1e\end{aligned}$

이다.

2-3 $\displaystyle S = 1 + 2 a + 3 a^{{2}} + 4 a^{{3}} + \cdots$라고 하면 $\displaystyle a S = a + 2 a^{{2}} + 3 a^{{3}} + 4 a^{{4}} + \cdots$이다.

$\displaystyle S-aS=1+a+a^2+a^3+\cdots=\frac1{1-a}$

즉, $\displaystyle (1-a)S=\frac1{1-a}$이다. 그러므로 $\displaystyle S=\frac1{(1-a)^2}$이다.

2-4. 특정 시점에 $\displaystyle n$개의 두더지 로봇 중 하나도 나타나지 않을 확률을 $\displaystyle s$라고 하면 $\displaystyle s = ( 1 - p )^{{n}} = q^{{n}}$이다. 특정 시점에 적어도 하나의 두더지가 나타날 확률은 여사건의 확률이므로 $\displaystyle 1 - s$이다. 게임 시작 후 $\displaystyle k$초에 처음으로 두더지가 하나라도 나타날 확률 즉, $\displaystyle { P} ( T = k )$은 게임 시작 후 $\displaystyle 1$초, $\displaystyle 2$초, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle k - 1$초에는 하나도 나타나지 않고, $\displaystyle k$초에 적어도 하나가 나타날 확률이므로 $\displaystyle s^{{k - 1}} ( 1 - s )$이다.

확률변수 $\displaystyle T$의 기댓값은

$\displaystyle \mathrm E(T)=\sum_{k=1}^{\infty}k\mathrm P(T=k)=\sum_{k=1}^{\infty}ks^{k-1}(1-s)=(1-s)\sum_{k=1}^{\infty}ks^{k-1}$이다.

(3)의 결과에 의해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}ks^{k-1}=\frac1{(1-s)^2}$이므로

$\displaystyle \mathrm E(T)=\frac1{1-s}=\frac1{1-(1-p)^n}=\frac1{1-q^n}$이다.Caution. 이 기댓값은 $\displaystyle p>0$일 때의 값이다. $\displaystyle p=0$이면 두더지가 나타나지 않아 $\displaystyle T$가 유한한 값을 갖지 않는다.