자연계열 1번

(1)

<그림 1>에서 보인 바와 같이, 정삼각형 바퀴가 1회전 하는 동안 바퀴 중심은 정삼각형 바퀴의 둘레 길이 만큼 이동한다. 이때, 정삼각형 바퀴 한 변의 길이를 $\displaystyle d_{{3}}$이라 하면, $\displaystyle d_{{3}}$는 양변의 길이가 1이고 사잇각이 $\displaystyle \frac{{2 \pi }}{3}$인 이등변삼각형의 밑변의 길이와 같다. 따라서,

$\displaystyle d_{{3}} = 2 \times \sin \left( \frac{{2 \pi }}{3} \times \frac{1}{2} \right) = 2 \times \sin \frac{\pi }{3}$

$\displaystyle \therefore L_{{3}} = 3 \times d_{{3}} = 2 \times 3 \times \sin \frac{\pi }{3} = 3 \sqrt{3}$

(2) 위 문제와 유사하게, 정$\displaystyle n$각형 바퀴가 1회전 하는 동안 바퀴중심은 정$\displaystyle n$각형 바퀴의 둘레 길이만큼 이동한다. 이때, 정삼각형 바퀴 한 변의 길이를 $\displaystyle d_{{n}}$이라 하면, 위 (1)에서와 같이 $\displaystyle d_{{n}}$은 양변의 길이가 1이고 사잇각이 $\displaystyle \frac{{2 \pi }}{n}$인 이등변삼각형의 밑변의 길이와 같다. 따라서Correction. 여기서 ‘정삼각형’은 정$\displaystyle n$각형을 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle d_{{n}} = 2 \times \sin \left( \frac{{2 \pi }}{n} \times \frac{1}{2} \right) = 2 \times \sin \frac{\pi }{n}$

$\displaystyle \therefore L_n=n\times d_n=2n\times\sin\frac\pi n$

(3) 각 자연수 $\displaystyle n \ge 3$에 대해 $\displaystyle a_{{n}} = \frac{\pi }{n}$이라 하면, 위 (2)에서 구한 $\displaystyle L_{{n}}$은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\displaystyle L_{{n}} = 2 n \times \sin \frac{\pi }{n} = 2 \pi \times \frac{{\sin \frac{\pi }{n}}}{{\frac{{\pi }}{n}}} = 2 \pi \times \frac{{\sin a_{{n}}}}{a_{{n}}}$

<그림 2>에서 직선 $\displaystyle OP_1$의 기울기는 직선 $\displaystyle OP_2$의 기울기보다 크다. 즉, $\displaystyle 0<x_1<x_2<\pi$일 때, 다음 조건을 만족한다.

$\displaystyle \frac{{\sin x_{{1}}}}{x_{{1}}} > \frac{{\sin x_{{2}}}}{x_{{2}}}$

모든 자연수 $\displaystyle n \ge 3$에 대하여 $\displaystyle 0 < a_{{n + 1}} < a_{{n}} \le \frac{{\pi }}{3}$이므로 위의 사실로부터 다음이 성립한다.

$\displaystyle \frac{{\sin a_{{n + 1}}}}{a_{{n + 1}}} > \frac{{\sin a_{{n}}}}{a_{{n}}}$ $\displaystyle \Leftrightarrow 2 \pi \times \frac{{\sin a_{{n + 1}}}}{{a_{{n + 1}}}} > 2 \pi \times \frac{{\sin a_{{n}}}}{{a_{{n}}}}$

$\displaystyle \therefore L_{{n + 1}} > L_{{n}}$

수열 $\displaystyle \{L_n\}$의 극한은 다음과 같다.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}L_n=2\pi\times\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}=2\pi\quad\left(\because\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1\right)$

(4) 정삼각형 바퀴가 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 회전 하는 동안 중심 $\displaystyle C_{{3}}$는 반지름 $\displaystyle 1$이며 중심각이 $\displaystyle \frac{{2 \pi }}{3}$인 부채꼴의 호를 그린다. 따라서 바퀴중심 $\displaystyle C_{{3}}$가 그리는 자취의 길이 $\displaystyle l_{{3}}$은 다음과 같다.

$\displaystyle l_{{3}} = 1 \times \frac{{2 \pi }}{3} \times 3 = 2 \pi$ ($\displaystyle \because$호의 길이 $\displaystyle l = r \theta$)

위 그림은 정$\displaystyle n$각형 바퀴가 $\displaystyle \frac{1}{n}$회전 할 때, 표면에 닿는 변만을 나타낸 그림이다. 이때, 중심 $\displaystyle C_{{n}}$는 반지름 $\displaystyle 1$이며 중심각이 $\displaystyle \frac{{2 \pi }}{n}$인 부채꼴의 호를 그린다. 따라서 바퀴중심 $\displaystyle C_{{n}}$이 그리는 자취의 길이 $\displaystyle l_{{n}}$은 다음과 같다.

$\displaystyle l_{{n}} = 1 \times \frac{{2 \pi }}{n} \times n = 2 \pi$