자연계열 3번

(1)

정사영한 도형은 위 그림과 같이 양 가장자리의 두 개의 반 타원과 중앙의 빗금친 부분으로 이루어져 있다. 이는 각각 다음의 평면도형들의 $\displaystyle x y$ 평면 위로의 정사영이다.

- 원기둥의 윗면(원)의 $\displaystyle x y$ 평면과 평행한 지름에 대한 반원

- 원기둥의 아랫면(원)의 $\displaystyle x y$ 평면과 평행한 지름에 대한 반원

- 위 두 반원의 지름을 변으로 가지는 직사각형

두 평면의 사이 각은 두 평면의 법선벡터의 사이 각과 같으므로 이들 평면도형이 $\displaystyle x y$ 평면과 이루는 각도는 각각 $\displaystyle \frac{{\pi }}{3} , {\frac{\pi }{3} , \frac{{\pi }}{2} - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6}}$이다.

정사영 넓이공식을 이용하면 가장자리 두 반타원의 넓이는 각각

$\displaystyle \frac{1}{2} \times \pi \times 2^{{2}} \times \cos \frac{\pi }{3} = \pi$이고, 중앙의 빗금친 부분의 넓이는 $\displaystyle 4 \times 3 \times \cos \left( \frac{\pi }{6} \right) = 6 \sqrt{3}$이다. 따라서 원기둥의 정사영의 넓이는 $\displaystyle 6 \sqrt{3} + 2 \pi$이다.

(2) 직선 $\displaystyle m$을 회전축으로 $\displaystyle \pi$만큼 돌렸을 때 $\displaystyle \theta$값이 최대가 된다. 이때의 $\displaystyle \overrightarrow{n}$을 $\displaystyle \overrightarrow{n}^{\prime}$라 하자. 아래 그림에서 벡터 $\displaystyle z$축의 양의 방향과 직선 $\displaystyle m$과의 각도를 $\displaystyle \phi$라 하면, $\displaystyle z$축의 양의 방향과 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{n}^{\prime}$과의 각도는 $\displaystyle 2 \phi$이고, 이 값이 $\displaystyle \theta$의 최댓값 $\displaystyle \alpha$가 된다. 한편 조건에서 $\displaystyle \cos \phi = \frac{3}{5}$이다. 따라서 $\displaystyle \cos \alpha = \cos ( 2 \phi ) = 2 \cos ^{{2}} \phi - 1 = - \frac{7}{25}$이 $\displaystyle \cos \theta$의 최솟값이다.

(3)

정사영한 도형은 위 그림과 같이 중앙의 빗금친 부분과 양 가장자리의 두 개의 반 타원으로 이루어져 있다. 문항 (1)에서와 같이 생각하여 정사영 넓이공식을 이용하면 중앙의 빗금친 부분의 넓이는 $\displaystyle 4\times3\times\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)=12\sin\theta$이고, 가장자리 반타원의 넓이는 각각 $\displaystyle \frac12\times\pi\times2^2\times|\cos\theta|=2\pi|\cos\theta|$이다. 따라서 정사영한 도형의 넓이는

$\displaystyle 12 \sin \theta + 4 \pi | \cos \theta | \ \ \cdots ( * )$

이다. 구간 $\displaystyle 0\le\theta\le\alpha$($\displaystyle \alpha$는 문항 (2)에서 구한 $\displaystyle \theta$의 최댓값)에서 함수

$\displaystyle f ( \theta ) = 12 \sin \theta + 4 \pi | \cos \theta |$의 최댓값이 문제에서 구하는 정사영의 넓이의 최댓값이다. 문항 (2)에서 $\displaystyle \cos \alpha < 0$이므로 $\displaystyle \alpha > \frac{\pi }{2}$이다.

구간 $\displaystyle 0 \le \theta \le \frac{\pi }{2}$에서 $\displaystyle f ( \theta ) = 12 \sin \theta + 4 \pi \cos \theta$의 최댓값은 아래와 같이 삼각함수의 덧셈정리 또는 벡터의 내적을 이용하면 $\displaystyle \sqrt{{12^{{2}} + ( 4 \pi )^{{2}}}} = 4 \sqrt{{9 + \pi ^{{2}}}}$이고,

구간 $\displaystyle \frac{\pi }{2} \le \theta \le \alpha$에서 $\displaystyle f ( \theta ) = 12 \sin \theta - 4 \pi \cos \theta$의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt{{12^{{2}} + ( - 4 \pi )^{{2}}}} = 4 \sqrt{{9 + \pi ^{{2}}}}$이하이므로 정사영한 도형의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle 4 \sqrt{{9 + \pi ^{{2}}}}$이다.

※ $\displaystyle g(\theta)=a\sin\theta+b\cos\theta$라 하자. ($\displaystyle a,b$는 상수) 사인함수의 덧셈정리를 이용하면

$\displaystyle \begin{aligned}a\sin\theta+b\cos\theta&=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta+\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta\right)\\&=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi_0)\end{aligned}$

(단, $\displaystyle \phi_0$는 $\displaystyle \cos\phi_0=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\phi_0=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}$인 상수)를 얻는다.

$\displaystyle a,b>0$일 경우, $\displaystyle 0<\phi_0<\frac\pi2$이고, $\displaystyle g(\theta)$는 $\displaystyle 0<\theta=\frac\pi2-\phi_0<\frac\pi2$에서 최댓값 $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}$를 취한다. 한편, $\displaystyle a>0>b$일 경우 $\displaystyle -\frac\pi2<\phi_0<0$이고, $\displaystyle g(\theta)$는 $\displaystyle \frac\pi2<\theta=\frac\pi2-\phi_0<\pi$에서 최댓값 $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}$를 취한다.