자연계열 2번

(1) 많은 수의 점이 원 내부에 균등하게 분포되어 있다면, 원 내부의 어느 영역에든 대략 그 영역의 면적에 비례하는 개수의 점이 분포한다. 특히 전체 점 중 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle - 1$과 $\displaystyle b$사이에 있는 점, 즉 아래 그림에서 어두운 영역에 있는 점의 비는 대략 원의 면적에 대한 어두운 영역의 면적의 비가 된다.

따라서 $\displaystyle F ( b ) =$(어두운 영역의 면적) / $\displaystyle \pi$이다. 위 아래 반원은 각각 함수 $\displaystyle y = \sqrt{{1 - x^{{2}}}}$, $\displaystyle y = - \sqrt{{1 - x^{{2}}}}$의 그래프이므로

$\displaystyle F(b)=\frac1\pi\int_{-1}^b2\sqrt{1-x^2}\,dx$이고, $\displaystyle f(x)=\frac2\pi\sqrt{1-x^2}$이다.

(2)

(2-1)

원 $\displaystyle C$위에 많은 수의 점이 균등하게 분포되어 있다면 주어진 원호 위에는 대략 원호의 길이에 비례하는 개수의 점이 분포한다. 특히 전체 점 중 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle - 1$과 $\displaystyle b$사이에 있는 점, 즉 원호 $\displaystyle Q P Q^{\prime}$위에 있는 점의 비는 대략 (원호 $\displaystyle Q P Q^{\prime}$의 길이) / $\displaystyle 2 \pi$이다. 따라서 $\displaystyle F ( b ) =$(원호 $\displaystyle P Q$의 길이) / $\displaystyle \pi$이다. 원호 $\displaystyle P Q$는 함수 $\displaystyle y = \sqrt{{1 - x^{{2}}}}$ $\displaystyle ( - 1 \le x \le b )$의 그래프이므로 곡선의 길이의 공식에 의해

$\displaystyle \begin{aligned}F(b)&=\frac1\pi\int_{-1}^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx\\&=\frac1\pi\int_{-1}^b\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}\,dx\\&=\frac1\pi\int_{-1}^b\sqrt{\frac1{1-x^2}}\,dx\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle f(x)=\frac1{\pi\sqrt{1-x^2}}$이다.

(2-2)

구면 $\displaystyle S$에서 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$사이인 영역의 넓이를 $\displaystyle A ( a , b )$라 하자. (참고)에 따르면 구면 $\displaystyle S$에서 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle 0$와 $\displaystyle b$사이인 영역의 넓이 $\displaystyle A ( 0 , b )$는 $\displaystyle \sin \alpha = b$에 비례한다. (단, $\displaystyle 0 \le b \le 1$) 즉, 적당한 비례상수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle A ( 0 , b ) = k b$이 성립한다. 구면 $\displaystyle S$의 겉넓이는 $\displaystyle 4 \pi$이므로 $\displaystyle A ( 0 , 1 ) = k = 2 \pi$ 즉, $\displaystyle A ( 0 , b ) = 2 \pi b$이다.

$\displaystyle 0 \le b \le 1$ 일 때,

$\displaystyle A ( - 1 , b ) = A ( - 1 , 0 ) + A ( 0 , b ) = 2 \pi + 2 \pi b$

이고, 또한 이 때

$\displaystyle A ( - 1 , - b ) = A ( - 1 , 0 ) - A ( 0 , b ) = 2 \pi - 2 \pi b$

임은 명백하므로 모든 $\displaystyle - 1 \le b \le 1$에 대해 $\displaystyle A ( - 1 , b ) = 2 \pi + 2 \pi b$이다. 많은 수의 점이 구면 위에 균등하게 분포되어 있다면, 전체 점 중 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle - 1$과 $\displaystyle b$사이에 있는 점의 비는 대략 구면 $\displaystyle S$의 전체 겉넓이에 대한 이 영역 즉, 구면에서 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle - 1$과 $\displaystyle b$사이인 영역의 넓이의 비가 된다. 따라서 모든 $\displaystyle - 1 \le b \le 1$에 대해

$\displaystyle F(b)=\frac{A(-1,b)}{4\pi}=\frac{1+b}2$

이다. 식 $\displaystyle F(b)=\int_{-1}^b f(x)\,dx$로부터 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle F(x)$의 도함수이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=\frac12$이다.

※ 위에서 $\displaystyle A ( 0 , b ) = k b$의 비례상수 $\displaystyle k$는 $\displaystyle F ( b )$를 구할 때 상쇄되므로 $\displaystyle k = 2 \pi$ 값을 구할 필요는 없다.