자연계열 1번

(1) $\displaystyle a_{{1}}$, $\displaystyle a_{{2}}$를 제외한 나머지 $\displaystyle 8$개의 항을 고정하고 $\displaystyle a_{{1}}$, $\displaystyle a_{{2}}$를 순서를 바꾸어 얻는 $\displaystyle 2$개의 수열 중 하나의 수열이 조건을 만족하므로 $\displaystyle \mathrm P ( A ) = \frac{1}{2}$이다.

(2) (1)과 같은 논리로 $\displaystyle a_{{2}} < a_{{3}}$이 되는 사건 $\displaystyle B$의 확률 $\displaystyle \mathrm P ( B )$도 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다.

사건 $\displaystyle A \cap B$는 $\displaystyle a_{{1}} < a_{{2}} < a_{{3}}$를 만족하는 사건인데, $\displaystyle a_{{1}}$, $\displaystyle a_{{2}}$, $\displaystyle a_{{3}}$를 제외한 나머지 $\displaystyle 7$개의 항을 고정하고 $\displaystyle a_{{1}}$, $\displaystyle a_{{2}}$, $\displaystyle a_{{3}}$를 순서를 바꾸어 얻는 $\displaystyle 6$개의 수열 중 하나의 수열이 $\displaystyle a_{{1}} < a_{{2}} < a_{{3}}$를 만족하므로 확률 $\displaystyle \mathrm P ( A \cap B )$는 $\displaystyle \frac{1}{6}$이다.

따라서, $\displaystyle \mathrm P ( A \cap B ) \ne \mathrm P ( A ) \mathrm P ( B ) = \frac{1}{4}$이므로 이 두 사건은 종속이다.

(3) (1)과 같은 논리로 $\displaystyle a_{{1}}$, $\displaystyle a_{{2}}$, $\displaystyle a_{{3}}$, $\displaystyle a_{{4}}$를 제외한 나머지 $\displaystyle 6$개의 항을 고정하고 $\displaystyle a_{{1}}$, $\displaystyle a_{{2}}$, $\displaystyle a_{{3}}$, $\displaystyle a_{{4}}$를 순서를 바꾸어 얻는 $\displaystyle 4 ! = 24$개의 수열 중 하나의 수열이 조건을 만족하므로 구하는 확률 $\displaystyle \mathrm P ( C )$는 $\displaystyle \frac{1}{24}$이다.

(4) 위의 (1)-(3)로부터

$\displaystyle \mathrm P ( X \ge 1 ) = 1$

$\displaystyle \mathrm P ( X \ge 2 ) = \mathrm P ( A ) = \frac{1}{2}$

$\displaystyle \mathrm P ( X \ge 3 ) = \mathrm P ( A \cap B ) = \frac{1}{6}$

$\displaystyle \mathrm P ( X \ge 4 ) = \mathrm P ( C ) = \frac{1}{24}$

임을 알 수 있다.

따라서

$\displaystyle \mathrm P ( X = 1 ) = \mathrm P ( X \ge 1 ) - \mathrm P ( X \ge 2 ) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\displaystyle \mathrm P ( X = 2 ) = \mathrm P ( X \ge 2 ) - \mathrm P ( X \ge 3 ) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

$\displaystyle \mathrm P ( X = 3 ) = \mathrm P ( X \ge 3 ) - \mathrm P ( X \ge 4 ) = \frac{1}{6} - \frac{1}{24} = \frac{1}{8}$

이다.

그러므로

$\displaystyle \mathrm E ( X ) \ge 1 \cdot \mathrm P ( X = 1 ) + 2 \cdot \mathrm P ( X = 2 ) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{3} > 1$

이고

$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm E(X)&\le1\cdot\mathrm P(X=1)+2\cdot\mathrm P(X=2)+3\cdot\mathrm P(X=3)+10\cdot\mathrm P(X\ge4)\\&=1\cdot\frac12+2\cdot\frac13+3\cdot\frac18+10\cdot\frac1{24}\\&=\frac{47}{24}<2\end{aligned}$

이다.

그러므로 확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값 $\displaystyle \mathrm E ( X )$가 $\displaystyle 1 < \mathrm E ( X ) < 2$을 만족한다.