자연계열 3번

홍익대 서울캠퍼스 2019학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2019su/jayeon_3

한 평면 위의 도형과 그 평면과 수직이 아닌 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 대해, 도형과 그 도형의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

(가) 한 평면 위의 두 도형 $\displaystyle F_{{1}}$ , $\displaystyle F_{{2}}$ 의 넓이를 각각 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 라 하고 $\displaystyle F_{{1}}$ , $\displaystyle F_{{2}}$ 의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영 $\displaystyle F_1^{\prime}$ , $\displaystyle F_2^{\prime}$ 의 넓이를 각각 $\displaystyle a^{\prime}$ , $\displaystyle b^{\prime}$ 라 할 때 $\displaystyle a : b = a^{\prime} : b^{\prime}$ 이 성립한다.

(나) 원의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영은 타원 또는 원이다. 타원의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영은 타원 또는 원이다. 임의의 타원에 대해, 주어진 타원의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영이 원이 되는 평면 $\displaystyle \alpha$ 가 존재한다.

(다) 임의의 삼각형에 대해, 주어진 삼각형의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영이 정삼각형이 되는 평면 $\displaystyle \alpha$ 가 존재한다. 정삼각형의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영이 정삼각형이 되는 경우, 주어진 정삼각형과 평면 $\displaystyle \alpha$ 는 평행하다.

제시된 사실을 이용하여 다음을 설명하시오.

(1) 넓이가 $\displaystyle \pi$ 인 원에 외접하는 정삼각형 $\displaystyle A$ 의 넓이 $\displaystyle a$ 를 구하시오.

(2) 넓이가 $\displaystyle \pi$ 인 타원에 접하는 세 직선이 정삼각형 $\displaystyle B$ 를 이루며 이 정삼각형은 타원을 내부에 포함한다고 하자. 원에 외접하는 삼각형 중 넓이가 가장 작은 삼각형은 정삼각형이라는 사실을 이용하여, $\displaystyle B$ 의 넓이 $\displaystyle b$ 는 위 문항 (1)에서 구한 $\displaystyle a$ 보다 크다는 것을 설명하시오.

(3) 넓이가 $\displaystyle c$ 로 주어진 삼각형 $\displaystyle C$ 의 내부에 있고 삼각형의 세 변이 접선이 되는 타원 또는 원 중 넓이가 가장 큰 것의 넓이를 $\displaystyle m$ 이라 할 때 $\displaystyle \frac{m}{c}$ 를 구하시오.

해설강의 준비중

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+3점 · 답(

\displaystyle 3\sqrt3

)을 맞게 제시함 (1점) 풀이과정을 설명함 (2점)

(1) 원의 넓이가 $\displaystyle \pi$ 일 때, 반지름은 $\displaystyle 1$ 이며 그에 외접하는 정삼각형의 높이는 $\displaystyle 3$ , 변의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{3}$ 이므로 정삼각형의 넓이는 $\displaystyle 3 \sqrt{3}$ 을 얻는다.

+7점 · 타원의 정사영이 원이 되는 평면

\displaystyle \alpha

를 고려하고, 타원의 밖에서 접하는 정삼각형의 평면

\displaystyle \alpha

위로의 정사영을 고려함 (3점) 아래 세 요소를 이용하여

\displaystyle b>a

임을 설명함 (4점) - 정삼각형의 평면

\displaystyle \alpha

위로의 정사영이 정삼각형이 아니다. - 최소 면적의 원의 외접삼각형은 정삼각형이다. - 넓이의 비율이 정사영의 넓이의 비율과 같다.

(2) 주어진 정삼각형과 타원을 각각 $\displaystyle B$ , $\displaystyle E$ 라 하자. (나)에 따라 $\displaystyle E$ 의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영 $\displaystyle E^{\prime}$ 가 원이 되도록 할 수 있으며 평면 $\displaystyle \alpha$ 는 도형 $\displaystyle B$ , $\displaystyle E$ 가 있는 평면과 평행하거나 수직이 아니다. 이때 정삼각형 $\displaystyle B$ 의 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영 $\displaystyle B^{\prime}$ 는 원 $\displaystyle E^{\prime}$ 에 외접하는 삼각형이며, 평면 $\displaystyle \alpha$ 는 $\displaystyle B$ 와 평행하지 않으므로 (다)에 의해 $\displaystyle B^{\prime}$ 는 정삼각형이 아니다. 따라서 $\displaystyle B^{\prime}$ 의 넓이는 원 $\displaystyle E^{\prime}$ 에 외접하는 정삼각형 $\displaystyle D$ 의 넓이보다 크다.

타원 E와 정삼각형 B의 정사영 및 원 E prime에 외접하는 정삼각형 D.

B와 E, B prime과 E prime, D와 E prime의 넓이 비교.

(가)에 의해

$\displaystyle \frac b\pi=\frac{(B\text{의 넓이})}{(E\text{의 넓이})}=\frac{(B^{\prime}\text{의 넓이})}{(E^{\prime}\text{의 넓이})}>\frac{(D\text{의 넓이})}{(E^{\prime}\text{의 넓이})}=\frac a\pi$

이므로 $\displaystyle b > a$ 가 성립한다.

+10점 · 문항 (1)에서 구한 값을 이용하여 답(

\displaystyle \frac\pi{3\sqrt3}

)을 제시함 (2점) 값을 구하는 과정에서 아래의 요소들을 이용함 (8점) - 삼각형의 정사영이 정삼각형이 되는 평면

\displaystyle \alpha

가 존재한다. - 정삼각형의 내부에서 접하는 원 또는 타원 중 넓이가 최대인 것은 원이다. - 평면

\displaystyle \alpha

위로의 정사영이 원이 되는 타원이 존재한다. - 넓이의 비율이 정사영의 넓이의 비율과 같다.

(3) (다)에 따라 삼각형 $\displaystyle C$ 의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영 $\displaystyle C^{\prime}$ 가 정삼각형이 되도록 할 수 있다.

정삼각형 $\displaystyle C^{\prime}$ 의 내접원을 $\displaystyle G$ 라 하고, $\displaystyle M$ 을 $\displaystyle G$ 를 포함하며 평면 $\displaystyle \alpha$ 와 수직인 원기둥을 삼각형 $\displaystyle C$ 가 있는 평면으로 자른 단면이라 하자. $\displaystyle M$ 은 $\displaystyle C$ 의 내부에서 $\displaystyle C$ 의 변들과 접하는 타원 또는 원이며, $\displaystyle M$ 의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영은 $\displaystyle C^{\prime}$ 의 내접원 $\displaystyle G$ 이다.

$\displaystyle C$ 의 내부에서 $\displaystyle C$ 의 변들과 접하는 임의의 타원 또는 원 $\displaystyle F$ 의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영 $\displaystyle F^{\prime}$ 는 정삼각형 $\displaystyle C^{\prime}$ 의 각 변에 접하며 정삼각형의 내부에 있는 타원 또는 원이다. (2)에 의해 정삼각형 $\displaystyle C^{\prime}$ 의 각 변에 접하며 정삼각형의 내부에 있는 타원 또는 원 중 $\displaystyle G$ 의 넓이가 가장 크다.

따라서 (가)에 의해 삼각형 $\displaystyle C$ 의 내부에서 $\displaystyle C$ 의 변들과 접하는 타원 또는 원 중 $\displaystyle M$ 의 넓이가 가장 크며, 이때

$\displaystyle \frac mc=\frac{(M\text{의 넓이})}{(C\text{의 넓이})}=\frac{(G\text{의 넓이})}{(C^{\prime}\text{의 넓이})}=\frac\pi a=\frac\pi{3\sqrt3}$

를 얻는다.

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