자연계열 3번

(1) 원의 넓이가 $\displaystyle \pi$일 때, 반지름은 $\displaystyle 1$이며 그에 외접하는 정삼각형의 높이는 $\displaystyle 3$, 변의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{3}$이므로 정삼각형의 넓이는 $\displaystyle 3 \sqrt{3}$을 얻는다.

(2) 주어진 정삼각형과 타원을 각각 $\displaystyle B$, $\displaystyle E$라 하자. (나)에 따라 $\displaystyle E$의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영 $\displaystyle E^{\prime}$가 원이 되도록 할 수 있으며 평면 $\displaystyle \alpha$는 도형 $\displaystyle B$, $\displaystyle E$가 있는 평면과 평행하거나 수직이 아니다. 이때 정삼각형 $\displaystyle B$의 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영 $\displaystyle B^{\prime}$는 원 $\displaystyle E^{\prime}$에 외접하는 삼각형이며, 평면 $\displaystyle \alpha$는 $\displaystyle B$와 평행하지 않으므로 (다)에 의해 $\displaystyle B^{\prime}$는 정삼각형이 아니다. 따라서 $\displaystyle B^{\prime}$의 넓이는 원 $\displaystyle E^{\prime}$에 외접하는 정삼각형 $\displaystyle D$의 넓이보다 크다.

(가)에 의해

$\displaystyle \frac b\pi=\frac{(B\text{의 넓이})}{(E\text{의 넓이})}=\frac{(B^{\prime}\text{의 넓이})}{(E^{\prime}\text{의 넓이})}>\frac{(D\text{의 넓이})}{(E^{\prime}\text{의 넓이})}=\frac a\pi$

이므로 $\displaystyle b > a$가 성립한다.

(3) (다)에 따라 삼각형 $\displaystyle C$의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영 $\displaystyle C^{\prime}$가 정삼각형이 되도록 할 수 있다.

정삼각형 $\displaystyle C^{\prime}$의 내접원을 $\displaystyle G$라 하고, $\displaystyle M$을 $\displaystyle G$를 포함하며 평면 $\displaystyle \alpha$와 수직인 원기둥을 삼각형 $\displaystyle C$가 있는 평면으로 자른 단면이라 하자. $\displaystyle M$은 $\displaystyle C$의 내부에서 $\displaystyle C$의 변들과 접하는 타원 또는 원이며, $\displaystyle M$의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영은 $\displaystyle C^{\prime}$의 내접원 $\displaystyle G$이다.

$\displaystyle C$의 내부에서 $\displaystyle C$의 변들과 접하는 임의의 타원 또는 원 $\displaystyle F$의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영 $\displaystyle F^{\prime}$는 정삼각형 $\displaystyle C^{\prime}$의 각 변에 접하며 정삼각형의 내부에 있는 타원 또는 원이다. (2)에 의해 정삼각형 $\displaystyle C^{\prime}$의 각 변에 접하며 정삼각형의 내부에 있는 타원 또는 원 중 $\displaystyle G$의 넓이가 가장 크다.

따라서 (가)에 의해 삼각형 $\displaystyle C$의 내부에서 $\displaystyle C$의 변들과 접하는 타원 또는 원 중 $\displaystyle M$의 넓이가 가장 크며, 이때

$\displaystyle \frac mc=\frac{(M\text{의 넓이})}{(C\text{의 넓이})}=\frac{(G\text{의 넓이})}{(C^{\prime}\text{의 넓이})}=\frac\pi a=\frac\pi{3\sqrt3}$

를 얻는다.