자연계열 2번

(1) 일반 자동차의 $\displaystyle t$초 후 위치를 $\displaystyle ( x ( t ) , \ y ( t ) )$라고 하면 $\displaystyle x ( t )$는 속도벡터의 $\displaystyle x$성분 $\displaystyle v_{{x}} ( t )$에 의해 결정된다. 초기위치 $\displaystyle ( - 200 , \ 100 )$과 $\displaystyle \left( 0 , \ 0 \right)$의 $\displaystyle x$성분의 차이는 $\displaystyle 200$이다.

일반 자동차가 $\displaystyle t_{{1}}$초 동안 움직인 $\displaystyle x$방향의 이동 거리는

$\displaystyle s_{{1}} ( t_{{1}} ) = \int_{0}^{t_{{1}}} v_{{x}} ( t ) d t = \int_{0}^{t_{{1}}} t d t = \frac{1}{2} t_{1}^{2}$

이므로 $\displaystyle 200 m$를 이동하는데 걸리는 시간은 $\displaystyle \frac{1}{2} t_{1}^{2} = 200$으로부터 $\displaystyle t_{{1}} = 20$초이다.

반면, 일정한 속도로 운동하는 자율주행 자동차가 $\displaystyle t_{{1}} = 20$초 동안 이동한 $\displaystyle x$방향 거리는

$\displaystyle s_{{2}} ( t_{{1}} ) = \int_{0}^{t_{{1}}} v_{{x}} d t = \int_{0}^{t_{{1}}} 11 d t = 11 t_{{1}} = 220 m$

이다.

따라서 두 자동차 사이의 거리는 $\displaystyle s_{{2}} ( t_{{1}} ) - s_{{1}} ( t_{{1}} ) = 220 - 200 = 20 m$이다.

(2) 일반 자동차는 $\displaystyle t_{{1}} = 20$초일 때 합류점 $\displaystyle O$를 지난다. $\displaystyle t_{{2}}$초에 두 자동차가 같은 위치에 있다면 $\displaystyle s_{{1}} ( t_{{2}} ) = s_{{2}} ( t_{{2}} )$이다. $\displaystyle \frac{1}{2} t_{2}^{2} = 11 t_{{2}}$로부터 $\displaystyle t_{{2}} = 22$임을 알 수 있다. 일반 자동차가 합류점 $\displaystyle O$점을 지난 시점으로부터 두 자동차가 만날 때 까지 걸리는 시간은 $\displaystyle 2$초이다.

(3) 자율주행 자동차가 $\displaystyle 2$초 뒤에 일정한 크기 $\displaystyle a$인 가속도로 감속하면 $\displaystyle t \ge 2$일 때 자율주행 자동차의 속도는 $\displaystyle v ( t ) = 11 - a ( t - 2 )$이다. 따라서 자율주행 자동차가 $\displaystyle 0$초부터 $\displaystyle 20$초까지 이동한 $\displaystyle x$방향의 총 거리는 $\displaystyle s = \int_{0}^{2} 11 d t + \int_{2}^{20} \left\{ 11 - a ( t - 2 ) \right\} d t = 220 - 162 a$이다.

두 자동차 사이의 거리가 $\displaystyle 10 m$ 이상이 되도록 하려면 자율주행 자동차의 총 이동거리는 $\displaystyle 190 m$ 보다 작거나 같아야 한다. 즉, $\displaystyle 220 - 162 a \le 190$을 만족하여야 하므로 $\displaystyle a \ge \frac{5}{27}$이다. 문제에 제시된 일반자동차가 합류점을 먼저 통과한다는 조건을 확인해보자. 가속도의 크기가 $\displaystyle \frac{5}{27}$일 때, $\displaystyle 20$초 후 자율주행 자동차의 속도는 $\displaystyle v ( 20 ) = 11 - \frac{5}{27} ( 20 - 2 ) = \frac{23}{3} > 0$이므로, 자율주행 자동차는 $\displaystyle \frac{23}{3} m / s$까지 감속한 상태로 합류점 $\displaystyle O$방향으로 이동하는 중이다. 이 순간 일반자동차가 합류점을 먼저 통과하므로 해당 가속도는 문제에서 제시된 조건을 만족한다. 따라서 $\displaystyle a$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{5}{27}$이다.

(4) 일반 자동차의 $\displaystyle x$방향의 속도가 $\displaystyle v_{{x}} ( t ) = 3 \sqrt{t}$일 때, $\displaystyle \int_{0}^{t_{{1}}} 3 \sqrt{t} d t = 200$이라 두면 일반자동차는 $\displaystyle t_{{1}} = 100^{{2 / 3}} = 10 \cdot 10^{{1 / 3}}$ 초에 합류점 $\displaystyle O$를 지남을 알 수 있다. 이때 $\displaystyle 2 < 10^{{1 / 3}} < 3$이므로 $\displaystyle 20 < t_{{1}} < 30$이 성립한다. 먼저 일반 자동차가 $\displaystyle 30$초 후에 합류점을 지난다고 가정하고 자율주행 자동차가 문제에서 제시된 조건을 만족하도록 하는 가속도의 크기를 $\displaystyle c$라 하자. 문항(3)과 동일한 방법으로 $\displaystyle 330 - 392 c \le 190$으로부터 $\displaystyle c \ge \frac{5}{14}$를 얻는다. 가속도의 크기가 최솟값 $\displaystyle c_{{0}} = \frac{5}{14}$일 때 자율주행 자동차의 $\displaystyle 30$초 후의 속도는 $\displaystyle v ( 30 ) = 1 > 0$이므로, 자율주행 자동차는 합류점 $\displaystyle O$방향으로 이동하는 중이다. 이 순간 일반자동차가 합류점을 먼저 통과하므로 해당 가속도는 문제에서 제시된 조건을 만족한다.

문항(3)에서 구한 $\displaystyle a$의 최솟값을 $\displaystyle a_{{0}}$라 하고, 문항(4)에서의 가속도의 크기 $\displaystyle b$의 최솟값을 $\displaystyle b_{{0}}$라 하면 $\displaystyle \int_{2}^{t_{{1}}} \left\{ 11 - b_{{0}} ( t - 2 ) \right\} d t = 190 - 22 = 168$이다. 아래의 그림에서 $\displaystyle 20 < t_{{1}} < 30$이며, 기울기가 각각 $\displaystyle -a_0$, $\displaystyle - b_{{0}}$, $\displaystyle - c_{{0}}$인 세 선분 아래 사다리꼴의 넓이가 모두 $\displaystyle 190 - 22 = 168$이므로 $\displaystyle a_{{0}} < b_{{0}} < c_{{0}}$가 성립한다. 또한 아래 그림에서 기울기가 $\displaystyle - b_{{0}}$인 직선의 $\displaystyle t_{{1}}$에서의 높이가 가속도의 크기가 $\displaystyle b_{{0}}$일 때 자율자동차의 $\displaystyle t_{{1}}$초 후의 속도이다. $\displaystyle v ( t_{{1}} ) > 0$이므로 해당 가속도는 문제에서 제시된 조건을 만족한다. 따라서 $\displaystyle a$의 최솟값보다 $\displaystyle b$의 최솟값이 더 크다.