자연계열 1번

(1) 음함수의 미분법을 이용하여 구할 수 있다.$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{9}\right)+\frac{d}{dx}(y^{2})=\frac{d}{dx}(1)$$\displaystyle \Rightarrow\frac{2}{9}x+2y\frac{dy}{dx}=0$$\displaystyle \Rightarrow\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{9y}\qquad(\text{단},\,y\ne0)$

(2) $\displaystyle (x_{1},y_{1})$위에서의 기울기는 $\displaystyle c=-\frac{x_{1}}{9y_{1}}$이 된다. 이를 접선의 방정식 $\displaystyle y=c(x-x_{1})+y_{1}$에 대입하면,$\displaystyle y=-\frac{x_{1}}{9y_{1}}(x-x_{1})+y_{1}=-\frac{x_{1}}{9y_{1}}x+\left(\frac{x_{1}^{2}}{9y_{1}}+y_{1}\right)\qquad\cdots\cdots\ ①$한편, $\displaystyle (x_{1},y_{1})$은 타원 위에 있는 점이므로, $\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{9}+y_{1}^{2}=1$을 만족한다. 이를 이용하면$\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{9y_{1}}+y_{1}=\frac{1}{y_{1}}$을 얻을 수 있다. 이를 위 접선의 방정식 ①에 대입하면,$\displaystyle y=-\frac{x_{1}}{9y_{1}}x+\frac{1}{y_{1}}$이 되어, $\displaystyle c=-\frac{x_{1}}{9y_{1}},d=\frac{1}{y_{1}}$이다. 이를 이용하면 접선의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle \frac{9}{x_{1}}$가 된다.

(3) 해당 둘레길이 $\displaystyle x$축과 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{F}(a,0)$과 $\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}(-a,0)$라 하고, $\displaystyle y$축과 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{G}(0,b)$과 $\displaystyle \mathrm{G}^{\prime}(0,-b)$라 하자 (단, $\displaystyle a>0,b>0$이다.). $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 각각 (2)에서 구한 접선의 $\displaystyle x$절편과 $\displaystyle y$절편이므로 $\displaystyle a=\frac{9}{x_{1}},b=\frac{1}{y_{1}}$임을 알 수 있다. 둘레길은 마름모 모양이며 내부의 넓이는 $\displaystyle 2ab=\frac{18}{x_{1}y_{1}}$이다. 꽃밭의 넓이는 $\displaystyle 3\pi$이므로, 자투리 공간의 넓이는$\displaystyle \frac{18}{x_{1}y_{1}}-3\pi$가 된다.

한편, $\displaystyle (x_{1},y_{1})$은 제시된 타원 방정식 위의 점이므로 다음을 만족한다.$\displaystyle 1=\frac{x_{1}^{2}}{9}+y_{1}^{2}$제시문 (다)를 이용하여 아래의 부등식이 성립함을 알 수 있다.$\displaystyle 1=\frac{x_{1}^{2}}{9}+y_{1}^{2}\ge2\sqrt{\left(\frac{x_{1}^{2}}{9}\right)y_{1}^{2}}=\frac{2x_{1}y_{1}}{3}$$\displaystyle \Rightarrow\frac{1}{x_{1}y_{1}}\ge\frac{2}{3}\qquad\cdots\cdots\ ②$$\displaystyle \Rightarrow\frac{18}{x_{1}y_{1}}-3\pi\ge12-3\pi$

등호는 $\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{9}=y_{1}^{2}=\frac{1}{2}$일 때 성립한다. 즉, 자투리 공간의 총 넓이의 최솟값은 $\displaystyle 12-3\pi$이고, 이때 $\displaystyle (x_{1},y_{1})=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 이다.

(4) 문항 (3)으로부터, 둘레길을 나타내는 마름모의 네 꼭짓점 좌표는 각각 $\displaystyle \mathrm{F}\left(\frac{9}{x_{1}},0\right),\mathrm{F}^{\prime}\left(-\frac{9}{x_{1}},0\right),\mathrm{G}\left(0,\frac{1}{y_{1}}\right),\mathrm{G}^{\prime}\left(0,-\frac{1}{y_{1}}\right)$이다. 피타고라스 정리를 활용하여 마름모의 한 변의 길이를 구하면 $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{9}{x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{y_{1}}\right)^{2}}$가 되므로, 울타리의 장축의 길이는 $\displaystyle 2\sqrt{\left(\frac{9}{x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{y_{1}}\right)^{2}}$ 이다. 여기에 문항 (3)에서 구한 $\displaystyle (x_{1},y_{1})=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$를 대입하면, 울타리의 장축의 길이는 $\displaystyle 4\sqrt{5}$ 가 된다. 한편, 단축의 길이는 $\displaystyle \frac{2}{y_{1}}=2\sqrt{2}$이다. 이를 활용하여 울타리를 나타내는 타원의 방정식을 구하면,$\displaystyle \frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{2}=1$이 된다.