자연계열 3번

홍익대 서울캠퍼스 2024학년도 수시 자연계열 3번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2024su/jayeon_3

문제 3 (20점)

홍익이는 <그림1>과 같이 반지름이 $\displaystyle R_{0}\ \mathrm{cm}$ 이고 두께가 없는 구 모양의 특수 풍선을 제작하여 풍선 속에 물을 가득 담았다. 물풍선은 비어있는 원뿔 모양의 그릇(이하 원뿔그릇) 안에 놓이고, 원뿔그릇 옆면에 접한다. 이때 물풍선의 중심과 원뿔그릇 꼭짓점 사이의 거리는 $\displaystyle 3R_{0}\ \mathrm{cm}$ 이다. 물풍선 밑에는 작은 구멍이 있어서 풍선이 수축하며 이 구멍으로 물이 빠져나간다. $\displaystyle t$ 초 후 빠져나간 물의 부피는 $\displaystyle V(t)=\frac{\pi}{3}t\ \mathrm{cm}^{3}$ 이다. 빠져나간 물은 <그림2>와 같이 원뿔그릇의 아래부터 즉시 채워지며, 물이 떨어지는 데 걸리는 시간은 무시한다. 물이 빠져나간 만큼 부피가 줄어드는 물풍선은 항상 구 모양을 유지하며 원뿔그릇 옆면에 접하고, 물풍선의 반지름은 $\displaystyle R$ 이라 한다. <그림2(a)>부터 <그림3(b)>까지에 대한 설명은 아래와 같다.

· <그림2(a)> 시각 $\displaystyle t\ (0<t<t_{1})$ 에, 물풍선 구멍을 통해 빠져나간 물이 원뿔그릇에 고여 원뿔 모양을 이룬다.<그림2(b)> 시간이 지남에 따라 빠져나간 물이 이루는 원뿔의 밑면과 물풍선은 서로 접한다. <그림2(c)> 이후 물풍선의 일부가 빠져나간 물에 잠긴다. 물풍선이 빠져나간 물에 잠긴 후에도 물풍선에서 물은 계속 빠져나간다.· <그림3(a)> 시각 $\displaystyle t_{1}$ 은 빠져나간 물이 원뿔그릇과 이에 접하는 물풍선 사이의 공간을 모두 채우는 순간이다. 이때 물풍선의 반지름은 $\displaystyle R_{1}$ 이다.

<그림3(b)>는 시각 $\displaystyle t_{1}$ 에서 물풍선이 빠져나간 물에 잠긴 부분을 나타낸다. 물풍선의 중심 $\displaystyle \mathrm{O}$ 에서 원뿔그릇의 꼭짓점을 지나는 선분 위의 한 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=x$ 라 하자. 이때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 를 지나고 원뿔그릇의 밑면에 평행인 평면으로 물풍선을 자른 단면의 넓이를 $\displaystyle S(x)$ 라 하자.

원뿔그릇 안의 물풍선이 시간에 따라 변하는 다섯 장면. t=0인 <그림1>에서 반지름 R₀인 풍선이 꼭짓점에서 3R₀ 떨어져 옆면에 접해 있고, <그림2(a)>·<그림2(b)>·<그림2(c)>를 거치며 아래에 물이 차오르고 풍선이 작아지며, t=t₁인 <그림3(a)>에서 반지름 R₁이 된다.

<그림3(b)>. 왼쪽은 시각 t₁에서 물풍선 중 물에 잠긴 아래쪽 부분을 색칠한 그림이고, 오른쪽은 중심 O에서 거리 x인 점 P를 지나 밑면에 평행한 평면으로 자른 단면의 넓이 S(x)를 나타낸 그림이다.

(1) 시각 $\displaystyle t$ 에서 물풍선의 반지름 $\displaystyle R$ 을 $\displaystyle R_{0}$ 과 $\displaystyle t$ 에 대한 식으로 나타내시오. $\displaystyle (0\le t\le t_{1})$

(2) $\displaystyle S(x)$ 를 $\displaystyle R_{1}$ 과 $\displaystyle x$ 의 식으로 표현하시오.

(3) 시각 $\displaystyle t_{1}$ 에서 빠져나간 물에 잠긴 물풍선 부분의 부피를 $\displaystyle R_{1}$ 에 대한 식으로 나타내시오.

(4) $\displaystyle R_{0}=5$ 일 때, 시각 $\displaystyle t_{1}$ 를 구하시오.

홍익대 서울캠퍼스 2024학년도 수시 자연계열 3번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2024su/jayeon_3

2점 만점 · 물풍선을 빠져나가는 물의 부피를 변화율을 사용하여 수식으로 표현함 (2점)

(1) 처음 물풍선의 반지름 : $\displaystyle R_{0}$ $\displaystyle t$ 초 후, 물풍선을 빠져나간 물의 부피 : $\displaystyle V(t)=\frac{\pi}{3}t$ 물이 빠져나간 후의 물풍선의 반지름을 $\displaystyle R$ 라 하면,--> 물이 빠져나가 변한 물풍선의 부피 : $\displaystyle V(t)=\frac{\pi}{3}t=\frac{4}{3}\pi\left(R_{0}^{3}-R^{3}\right)$ --> $\displaystyle R=\left(R_{0}^{3}-\frac{1}{4}t\right)^{\frac{1}{3}}$

원뿔그릇 안 물풍선이 t=0의 <그림1>에서 <그림2>를 거쳐 t=t₁의 <그림3(a)>에 이르는 다섯 장면.

4점 만점 · 단면에 만들어지는 원의 반지름이

\displaystyle \sqrt{(R_{1}^{2}-x^{2})}

와 같음을 나타냄 (3점)

\displaystyle S(x)=\pi(R_{1}^{2}-x^{2})

을 나타냄 (1점)

(2)

<그림3(b)>. 왼쪽은 물에 잠긴 물풍선 아랫부분, 오른쪽은 중심 O에서 거리 x인 점 P를 지나는 평면으로 자른 단면 S(x)를 나타낸 그림.

물풍선의 반지름은 $\displaystyle R_{1}$ 이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=x$ 이므로 피타고라스의 정리를 이용하면단면인 원의 반지름은 $\displaystyle \sqrt{(R_{1}^{2}-x^{2})}$ .따라서, 원의 넓이는 $\displaystyle S(x)=\pi(R_{1}^{2}-x^{2})$ .

6점 만점 · 문항(2)에서 사용한 넓이 구하는 공식

\displaystyle S(x)=\pi(R_{1}^{2}-x^{2})

을 사용하고, 범위를 정확히

\displaystyle \frac{1}{3}R_{1}

에서 부터

\displaystyle R_{1}

라고 표현함 (3점) 다음의 과정으로 정확하게 답을 도출함 (3점)

\displaystyle \int_{\frac{R_{1}}{3}}^{R_{1}}\pi(R_{1}^{2}-x^{2})dx=\pi\Biggl[R_{1}^{2}x-\frac{1}{3}x^{3}\Biggr]_{\frac{R_{1}}{3}}^{R_{1}}=\pi\left[R_{1}^{3}-\frac{R_{1}^{3}}{3}-\frac{R_{1}^{3}}{3}+\frac{R_{1}^{3}}{81}\right]=\frac{28}{81}\pi R_{1}^{3}

(3) 삼각형 닮음을 이용하면 $\displaystyle x$ 가 $\displaystyle \frac{1}{3}R_{1}$ 부터 $\displaystyle R_{1}$ 까지의 변화에 대해 넓이 $\displaystyle S(x)$ 를 적분한 값이 된다. $\displaystyle \int_{\frac{R_{1}}{3}}^{R_{1}}\pi(R_{1}^{2}-x^{2})dx$ $\displaystyle =\pi\Biggl[R_{1}^{2}x-\frac{1}{3}x^{3}\Biggr]_{\frac{R_{1}}{3}}^{R_{1}}=\pi\left[R_{1}^{3}-\frac{R_{1}^{3}}{3}-\frac{R_{1}^{3}}{3}+\frac{R_{1}^{3}}{81}\right]=\frac{28}{81}\pi R_{1}^{3}$

8점 만점 · 물풍선을 빠져나간 물의 부피가 원뿔의 부피에서 물에 잠긴 물풍선의 부피를 제외한 부분을 계산함 (3점)

\displaystyle \varDelta V=\pi\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}R_{1}\right)^{2}\times\frac{8}{3}R_{1}\times\frac{1}{3}-\frac{28}{81}\pi R_{1}^{3}=\frac{64}{81}\pi R_{1}^{3}-\frac{28}{81}\pi R_{1}^{3}=\frac{36}{81}\pi R_{1}^{3}

작아진 물풍선 부피의 변화량을

\displaystyle R_{0}

에 대해서 표현함 (2점)

\displaystyle \varDelta V=\frac{4}{3}\pi R_{0}^{3}-\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}=\frac{4}{3}\pi R_{0}^{3}-\frac{4}{3}\pi\left(\frac{81}{36\pi}\varDelta V\right)\Rightarrow\varDelta V=\frac{1}{3}\pi R_{0}^{3}

빠져나가는 물의 비율과

\displaystyle R_{0}

로 표현된 부피의 변화량으로 125초라는 결과를 도출함 (3점)

\displaystyle \varDelta V=\frac{\pi}{3}t_{1}=\frac{1}{3}\pi R_{0}^{3}

\displaystyle R_{0}=5

이므로,

\displaystyle t_{1}=\frac{3}{\pi}\times\frac{1}{3}\pi R_{0}^{3}=5^{3}=125

(4) 시각 $\displaystyle t_{1}$ 에서 물에 잠기지 않은 물풍선의 부피와 접선이 이루는 면을 밑면으로 하는 원뿔의 부피의 합은 시각 $\displaystyle 0$ 초에서 물풍선의 부피와 같아야 한다. 각각을 다음과 같이 구한다.

(가) 시각 $\displaystyle 0$ 초에서 물풍선의 부피 : $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R_{0}^{3}$

(나) 빠져나간 물의 부피: $\displaystyle \varDelta V=\pi\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}R_{1}\right)^{2}\times\frac{8}{3}R_{1}\times\frac{1}{3}-\frac{28}{81}\pi R_{1}^{3}=\frac{64}{81}\pi R_{1}^{3}-\frac{28}{81}\pi R_{1}^{3}=\frac{36}{81}\pi R_{1}^{3}$ ,즉, $\displaystyle R_{2}^{3}=\frac{81}{36\pi}\varDelta V$ Correction. $\displaystyle R_{2}^{3}$ 은 $\displaystyle R_{1}^{3}$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(다) 작아진 풍선의 부피 $\displaystyle \varDelta V=\frac{4}{3}\pi R_{0}^{3}-\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}$ $\displaystyle \Rightarrow\varDelta V=\frac{4}{3}\pi R_{0}^{3}-\frac{4}{3}\pi\left(\frac{81}{36\pi}\varDelta V\right)\Rightarrow\varDelta V=\frac{1}{3}\pi R_{0}^{3}$

따라서, $\displaystyle \varDelta V=\frac{\pi}{3}t_{1}=\frac{1}{3}\pi R_{0}^{3}$ . $\displaystyle R_{0}=5$ 이므로, $\displaystyle t_{1}=\frac{3}{\pi}\frac{1}{3}\pi R_{0}^{3}=5^{3}=125$ , $\displaystyle t_{1}$ 는 $\displaystyle 125$ 초

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