자연계열 2번

(1) $\displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac{2+4+23+25+29+31}{6}=19$, $\displaystyle \mathrm{E}(Y)=\frac{5+7+11+13+35+37}{6}=18.$

(2) 홍익이와 아빠 두 사람이 동시에 주사위를 던졌을 때 홍익이가 승리할 경우의 수를 나타내는 다음의 표에서 홍익이가 승리할 확률은 $\displaystyle \frac{4}{9}$ 이며, 아빠가 승리할 확률은 $\displaystyle \frac{5}{9}$이므로 아빠가 더 유리하다.

(3) 홍익이가 승리한 날의 수를 확률변수 $\displaystyle W$라 하면, $\displaystyle W$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(405,\frac{4}{9}\right)$를 따르며, 평균 $\displaystyle m$과 표준편차 $\displaystyle \sigma$는 각각 $\displaystyle m=405\times\frac{4}{9}=180$, $\displaystyle \sigma=\sqrt{405\times\frac{4}{9}\times\frac{5}{9}}=\sqrt{100}=10$ 이다. 확률변수 $\displaystyle W$는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(180,10^{2})$을 따르므로 구하는 확률은$\displaystyle \mathrm{P}(200\le W)=\mathrm{P}\left(\frac{200-180}{10}\le Z\right)=\mathrm{P}(2\le Z)=\frac{1}{2}-\mathrm{P}(0\le Z\le2)=0.5-0.4772=0.0228$ 이다.

(4) $\displaystyle A$를 홍익이의 주사위에 쓰인 자연수들의 집합이라 하고, $\displaystyle B$를 아빠의 주사위에 쓰인 자연수들의 집합이라 하자. $\displaystyle A$ 또는 $\displaystyle B$에 속하지 않는 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle f(n)$을 $\displaystyle n$보다 작은 $\displaystyle A$의 원소의 개수라 하고, $\displaystyle g(n)$을 $\displaystyle n$보다 작은 $\displaystyle B$의 원소의 개수라 하자. 만약 $\displaystyle a_{i}$를 엄마의 주사위에 쓰인 $\displaystyle i$번째 자연수라 하면, $\displaystyle \sum_{i=1}^{6}f(a_{i})$는 엄마와 홍익이의 주사위 놀이로 나오는 36개의 결과 중 엄마가 승리하는 경우의 수이므로 $\displaystyle p_{1}=\frac{1}{36}\sum_{i=1}^{6}f(a_{i})$이다. 같은 이유로 $\displaystyle p_{2}=\frac{1}{36}\sum_{i=1}^{6}g(a_{i})$ 이며 $\displaystyle p_{1}-p_{2}=\frac{1}{36}\sum_{i=1}^{6}(f(a_{i})-g(a_{i}))$ 이 성립한다. 다음의 표는 $\displaystyle A$ 또는 $\displaystyle B$에 속하지 않는 자연수 $\displaystyle n$에 대해, 그 자연수가 속한 구간에 따른 $\displaystyle f$, $\displaystyle g$, $\displaystyle f-g$의 값을 나타낸다.

따라서 $\displaystyle p_{1}-p_{2}=\frac{1}{36}\sum_{i=1}^{6}(f(a_{i})-g(a_{i}))$의 값이 최대가 되는 경우는 엄마가 $\displaystyle f-g$의 값이 2인 31과 35 사이의 세 자연수 $\displaystyle 32,33,34$를 모두 선택하고, $\displaystyle f-g$의 값이 1인 $\displaystyle 3,6,30,36$ 중 임의로 나머지 세 자연수를 선택하는 경우이므로, $\displaystyle p_{1}-p_{2}$의 최댓값은$\displaystyle p_{1}-p_{2}=\frac{3\times2+3\times1}{36}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$ 이다.