자연계열 1번

홍익대 서울캠퍼스 2025학년도 수시 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2025su/jayeon_1

문제 1 (30점)

" $\displaystyle 1000000000\cdots000$ "

홍익이는 어릴 때 큰 수를 좋아해서 공책 한 페이지를 하나의 수를 적는 데 사용하기도 했다. 이후 홍익이는 지수를 사용하면 아주 큰 수도 간단히 나타낼 수 있다는 것을 알게 되었다. 예를 들어, 관측 가능한 우주에는 대략 $\displaystyle 10^{82}$ 개의 원자가 있다고 추측된다. $\displaystyle 10^{100}$ 은 "구골(googol)"이라고 불리며, IT 기업 구글(google)의 회사명은 이 수의 이름에서 유래했다고 알려져 있다.

이보다 더 큰 수를 표현하고 싶었던 홍익이는 다음의 두 가지 방법을 생각하였다.

첫째, 지수를 여러 번 반복한다. 이때 가장 위의 지수 연산부터 순서대로 한다.

예를 들어, $\displaystyle a^{b^{c^{d}}}=a^{\left(b^{\left(c^{d}\right)}\right)}$ 이며, 따라서 $\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536$ 이다.

둘째, 함수의 합성을 이용한다. 홍익이는 자연수의 집합을 정의역 및 공역으로 갖는 세 함수 $\displaystyle f,g,h$ 를 다음과 같이 정의하였다.

$\displaystyle f(n)=2^{n}$ $\displaystyle g(n)=(\underbrace{f\circ f\circ\cdots\circ f}_{n\,\text{개}})(n)$ $\displaystyle h(n)=(\underbrace{g\circ g\circ\cdots\circ g}_{n\,\text{개}})(n)$

즉, $\displaystyle g(1)=f(1)$ , $\displaystyle g(2)=f(f(2))$ , $\displaystyle g(3)=f(f(f(3)))$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle h(1)=g(1)$ , $\displaystyle h(2)=g(g(2))$ , $\displaystyle h(3)=g(g(g(3)))$ , $\displaystyle \cdots$ 이다.

(1) $\displaystyle g(2)$ 의 값을 구하시오.

(2) $\displaystyle g(3)=2^{m}$ 을 만족시키는 자연수 $\displaystyle m$ 의 값을 구하시오.

(3) $\displaystyle g(3)$ 과 "구골"( $\displaystyle 10^{100}$ ) 중 더 큰 수는 무엇인지 고르고 그 이유를 설명하시오.

(4) $\displaystyle h(2)$ 를 오직 숫자 2만 사용하여 $\displaystyle h(2)=2^{2^{2^{\cdots^{2}}}}$ 로 표현할 때, 우변에 나타나는 숫자 2의 개수를 구하시오. (예를 들어, $\displaystyle 2^{2^{2}}$ 에는 숫자 2의 개수가 3이다.)

(5) 홍익이는 숫자 2를 "구골"( $\displaystyle 10^{100}$ )번 사용하여 나타낸 수 $\displaystyle 2^{2^{2^{\cdots^{2}}}}$ (숫자 2의 개수가 $\displaystyle 10^{100}$ )을 "홍익수"라고 하였다. "홍익수"와 $\displaystyle h(3)$ 중 더 큰 수는 무엇인지 고르고 그 이유를 설명하시오.

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6점 만점 · 풀이 과정을 적절히 서술함 (4점) 정답 제시 (2점)

(1) $\displaystyle g(2)=f(f(2))=f(2^{2})=f(4)=2^{4}=16$

6점 만점 · 풀이 과정을 적절히 서술함 (4점) 정답 제시 (2점)

(2) $\displaystyle g(3)=f(f(f(3)))=f(f(2^{3}))=f(f(8))=f(2^{8})=f(256)=2^{256}$ 이므로, $\displaystyle m=256$

6점 만점 ·

\displaystyle 2^{256}

과

\displaystyle 10^{100}

의 크기를 비교하는 문제임을 서술함 (1점) 지수법칙을 바르게 사용하여

\displaystyle 10^{100}>2^{256}

의 결론을 얻음 (5점) (양변에 로그를 취하고

\displaystyle \log2

의 근사값을 이용하는 경우도 답안으로 인정하며, 풀이과정이 없는 경우 답안으로 인정하지 않음)

(3) $\displaystyle g(3)=2^{256}$ 이며, $\displaystyle 10^{100}=2^{100}5^{100}>2^{100}(2^{2})^{100}=2^{300}>2^{256}$ 이므로, $\displaystyle 10^{100}>g(3)$

6점 만점 ·

\displaystyle h(2)=g(16)

임을 서술함 (1점)

\displaystyle g(16)

또는

\displaystyle g(n)

을 표현하는 식을 정확히 구함 (2점)

\displaystyle h(2)

의 지수표현의 숫자 2의 개수를 풀이과정과 함께 정확히 구함 (3점)

(4) $\displaystyle h(2)=g(g(2))=g(16)$ 이다. $\displaystyle g(n)$ 은 함수 $\displaystyle f(n)=2^{n}$ 을 $\displaystyle n$ 번 합성하여 $\displaystyle n$ 을 넣은 값이므로 $\displaystyle g(n)=2^{2^{\cdots^{2^{n}}}}$ 이며, 이때 가장 위의 지수 $\displaystyle n$ 아래의 숫자 2의 개수도 $\displaystyle n$ 이다. 따라서 $\displaystyle g(16)=2^{2^{\cdots^{2^{16}}}}$ 이며, 이때 2의 개수는 16이다. $\displaystyle 16=2^{2^{2}}$ 이므로, $\displaystyle h(2)=2^{2^{2^{\cdots^{2}}}}$ 의 2의 개수는 $\displaystyle 16+3=19$ 이다.

6점 만점 ·

\displaystyle h(3)=g(g(2^{256}))

임을 서술함 (1점)

\displaystyle g(2^{256})>10^{100}

임을 보임 (3점)

\displaystyle h(3)>

"홍익수"임을 보임 (2점) (풀이과정이 없는 경우 답안으로 인정하지 않음)

(5) $\displaystyle h(3)=g(g(g(3)))=g(g(2^{256}))$ 이다. $\displaystyle a=g(2^{256})$ 이라 하자. $\displaystyle a=2^{2^{\cdots^{2^{256}}}}$ 이며 이때 가장 위 $\displaystyle 2^{256}$ 의 아래 숫자 2의 개수가 $\displaystyle 2^{256}$ 이다. $\displaystyle 10^{100}<(2^{4})^{100}=2^{400}$ 이므로, $\displaystyle 10^{100}$ 보다 $\displaystyle a$ 가 더 크다.

$\displaystyle h(3)=g(a)$ 이므로, $\displaystyle h(3)=2^{2^{\cdots^{2^{a}}}}$ 이며 이때 $\displaystyle a$ 의 아래 숫자 2가 $\displaystyle a$ 개이므로, 2를 $\displaystyle 10^{100}$ 개 사용한 "홍익수"보다 $\displaystyle h(3)$ 이 더 크다.

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