자연계열 1번

(1) $\displaystyle g(2)=f(f(2))=f(2^{2})=f(4)=2^{4}=16$

(2) $\displaystyle g(3)=f(f(f(3)))=f(f(2^{3}))=f(f(8))=f(2^{8})=f(256)=2^{256}$ 이므로, $\displaystyle m=256$

(3) $\displaystyle g(3)=2^{256}$ 이며, $\displaystyle 10^{100}=2^{100}5^{100}>2^{100}(2^{2})^{100}=2^{300}>2^{256}$ 이므로, $\displaystyle 10^{100}>g(3)$

(4) $\displaystyle h(2)=g(g(2))=g(16)$이다. $\displaystyle g(n)$은 함수 $\displaystyle f(n)=2^{n}$을 $\displaystyle n$번 합성하여 $\displaystyle n$을 넣은 값이므로 $\displaystyle g(n)=2^{2^{\cdots^{2^{n}}}}$이며, 이때 가장 위의 지수 $\displaystyle n$ 아래의 숫자 2의 개수도 $\displaystyle n$이다. 따라서 $\displaystyle g(16)=2^{2^{\cdots^{2^{16}}}}$ 이며, 이때 2의 개수는 16이다. $\displaystyle 16=2^{2^{2}}$이므로, $\displaystyle h(2)=2^{2^{2^{\cdots^{2}}}}$ 의 2의 개수는 $\displaystyle 16+3=19$이다.

(5) $\displaystyle h(3)=g(g(g(3)))=g(g(2^{256}))$이다. $\displaystyle a=g(2^{256})$이라 하자. $\displaystyle a=2^{2^{\cdots^{2^{256}}}}$ 이며 이때 가장 위 $\displaystyle 2^{256}$의 아래 숫자 2의 개수가 $\displaystyle 2^{256}$이다. $\displaystyle 10^{100}<(2^{4})^{100}=2^{400}$이므로, $\displaystyle 10^{100}$보다 $\displaystyle a$가 더 크다.

$\displaystyle h(3)=g(a)$이므로, $\displaystyle h(3)=2^{2^{\cdots^{2^{a}}}}$ 이며 이때 $\displaystyle a$의 아래 숫자 2가 $\displaystyle a$개이므로, 2를 $\displaystyle 10^{100}$개 사용한 "홍익수"보다 $\displaystyle h(3)$이 더 크다.