자연계열 2번

(1) '$\displaystyle R$: 주머니에서 빨간 공이 나오는 사건'일 때,$\displaystyle \mathrm{P}(R)=\mathrm{P}(R\cap A)+\mathrm{P}(R\cap B)=\mathrm{P}(R|A)\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(R|B)\mathrm{P}(B)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{8}.$

(2) 빨간 공이 나왔을 때 주머니 A를 선택한 확률은$\displaystyle \mathrm{P}(A|R)=\frac{\mathrm{P}(A\cap R)}{\mathrm{P}(R)}=\frac{\dfrac{2}{8}}{\dfrac{3}{8}}=\frac{2}{3}.$

(3) '$\displaystyle G$: 주머니에서 파란 공이 나오는 사건'일 때, 주머니 B에서 꺼낸 공이 빨간색일 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(R|B)=\frac{1}{4}$, 파란색일 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(G|B)=\frac{3}{4}$이다. 제시된 조건에서 $\displaystyle X=3$이 되는 사건은 주머니 B에서 공을 세 번 꺼내는 독립시행에서 순서대로 파란색, 파란색, 빨간색 공이 나오는 사건이므로 구하는 확률은$\displaystyle \mathrm{P}(G|B)\mathrm{P}(G|B)P(R|B)=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\times\frac{1}{4}=\frac{9}{64}.$

(4) 제시된 방법으로 공을 꺼내는 시행을 하였을 때, $\displaystyle X=3$이 되는 사건을 $\displaystyle C$라 하자. 문항 (3)으로부터 $\displaystyle \mathrm{P}(C|B)=\frac{9}{64}$이다. 또한 문항 (3)의 풀이와 동일한 방법으로 주머니 A를 골랐을 때 $\displaystyle X=3$일 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(C|A)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\times\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}$이다.따라서,$\displaystyle \mathrm{P}(C)=\mathrm{P}(C|A)\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(C|B)\mathrm{P}(B)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\times\frac{9}{64}=\frac{17}{128}$이며, $\displaystyle X=3$일 때, 주머니 A를 선택할 확률은$\displaystyle \mathrm{P}(A|C)=\frac{\mathrm{P}(A\cap C)}{\mathrm{P}(C)}=\left(\frac{1}{2}\times\frac{1}{8}\right)\bigg/\left(\frac{17}{128}\right)=\frac{8}{17}.$