자연계열 3번

(1)

원의 중심을 $\displaystyle \mathrm{C}(0,c)$라 할 때, 옆의 그림에서 닮은꼴 삼각형을 이용하면 다음과 같다.$\displaystyle a=\frac{2a}{\sqrt{1+4a^{2}}}$이때 $\displaystyle a$의 값은$\displaystyle (1+4a^{2})=4$$\displaystyle a=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$그림에서$\displaystyle c=a^{2}+\frac{1}{\sqrt{1+4a^{2}}}=\frac{5}{4}$

이므로 원의 중심의 좌표는 $\displaystyle \left(0,\frac{5}{4}\right)$, 원과 포물선이 만나는 점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{4}\right)$, $\displaystyle \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{4}\right)$이다.

(2)

원의 중심이 $\displaystyle \mathrm{C}(0,r)$이고 반지름이 $\displaystyle r$인 원의 방정식은$\displaystyle x^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$포물선 $\displaystyle y=x^{2}$과 원 $\displaystyle x^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$의 교점의 좌표를 구하기 위해 $\displaystyle y=x^{2}$를 원의 방정식에 대입하면$\displaystyle x^{2}+\left(x^{2}-r\right)^{2}=r^{2}$이 식을 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle x^{2}(x^{2}-2r+1)=0$여기서 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x^{2}=1-2r$이다.Correction. $\displaystyle x^{2}=1-2r$는 $\displaystyle x^{2}=2r-1$의 오기이다. 이어지는 조건도 $\displaystyle 2r-1\le0$이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 1-2r\le0$일 때 근은 $\displaystyle x=0$(따라서 $\displaystyle y=0$) 하나이므로 $\displaystyle r\le\frac{1}{2}$. 따라서, $\displaystyle r$의 최댓값은 $\displaystyle r=\frac{1}{2}$이다.

<별해>포물선 $\displaystyle y=x^{2}$과 원 $\displaystyle x^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$의 교점의 좌표를 구하기 위해 $\displaystyle x^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$를 포물선의 방정식에 대입하면$\displaystyle y=r^{2}-(y-r)^{2}$이 식을 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle y(y+(1-2r))=0$$\displaystyle y=x^{2}$이므로 $\displaystyle 2r-1\le0$일 때 근은 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle y=0$ 하나만 존재한다. 따라서, $\displaystyle r$의 최댓값은 $\displaystyle r=\frac{1}{2}$이다.

(3)

$\displaystyle t>0$일 때 다음 그림에서 삼각형의 닮음을 이용하여$\displaystyle f(t)=t-\frac{2rt}{\sqrt{4t^{2}+1}}=t-\frac{t}{2\sqrt{4t^{2}+1}}$$\displaystyle g(t)=t^{2}+\frac{r}{\sqrt{4t^{2}+1}}=t^{2}+\frac{1}{4\sqrt{4t^{2}+1}}$함수 $\displaystyle f$와 $\displaystyle g$는 $\displaystyle f(-t)=-f(t)$, $\displaystyle g(-t)=g(t)$이며 $\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle g(0)=\frac{1}{4}$이므로 모든 구간에서 위의 식이 성립한다.

(4) 매개변수를 이용하여 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(f(t),g(t))$에서의 기울기를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}$$\displaystyle f^{\prime}(t)=1-\frac{1}{2\sqrt{4t^{2}+1}}+\frac{2t^{2}}{(4t^{2}+1)^{3/2}}=1-\frac{1}{2(4t^{2}+1)^{3/2}}$$\displaystyle g^{\prime}(t)=2t-\frac{t}{(4t^{2}+1)^{3/2}}=2t\left(1-\frac{1}{2(4t^{2}+1)^{3/2}}\right)$$\displaystyle \frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}=2t$

점 $\displaystyle \mathrm{Q}(f(t_{0}),g(t_{0}))$에서의 기울기는 $\displaystyle \frac{g^{\prime}(t_{0})}{f^{\prime}(t_{0})}=2t_{0}$ 이다.포물선 $\displaystyle p$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(t,t^{2})$에서 접선의 기울기를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle \frac{dy}{dx}=2t$점 $\displaystyle \mathrm{P}\left(t_{0},t_{0}^{2}\right)$에서의 기울기는 $\displaystyle 2t_{0}$이다. 따라서 두 접선의 기울기는 같다.

(5) $\displaystyle t=\frac{3}{8}$일 때$\displaystyle f\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{3}{8}-\frac{\dfrac{3}{8}}{2\sqrt{4\left(\dfrac{3}{8}\right)^{2}+1}}=\frac{9}{40}$ 이고, $\displaystyle g\left(\frac{3}{8}\right)=\left(\frac{3}{8}\right)^{2}+\frac{1}{4\sqrt{4\left(\dfrac{3}{8}\right)^{2}+1}}=\frac{109}{320}$ 이므로점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{1}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{9}{40},\frac{109}{320}\right)$이다.

$\displaystyle t=\frac{2}{3}$일 때$\displaystyle f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}-\frac{\dfrac{2}{3}}{2\sqrt{4\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+1}}=\frac{7}{15}$ 이고, $\displaystyle g\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\frac{1}{4\sqrt{4\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+1}}=\frac{107}{180}$ 이므로점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{2}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{7}{15},\frac{107}{180}\right)$이다.

준선이 $\displaystyle x$축과 평행하고 꼭짓점의 좌표가 $\displaystyle \left(0,\frac{1}{4}\right)$이며 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{1}\left(\frac{9}{40},\frac{109}{320}\right)$을 지나는 포물선의 방정식을 $\displaystyle y=cx^{2}+\frac{1}{4}$라 하면,$\displaystyle c=\frac{y-\dfrac{1}{4}}{x^{2}}=\frac{\dfrac{109}{320}-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{81}{1600}}=\frac{145}{81}$ 이므로 $\displaystyle y=\frac{145}{81}x^{2}+\frac{1}{4}$

준선이 $\displaystyle x$축과 평행하고 꼭짓점의 좌표가 $\displaystyle \left(0,\frac{1}{4}\right)$이며 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{2}\left(\frac{7}{15},\frac{107}{180}\right)$을 지나는 포물선의 방정식을 $\displaystyle y=dx^{2}+\frac{1}{4}$라 하면,$\displaystyle d=\frac{y-\dfrac{1}{4}}{x^{2}}=\frac{\dfrac{107}{180}-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{49}{225}}=\frac{155}{98}$ 이므로 $\displaystyle y=\frac{155}{98}x^{2}+\frac{1}{4}$

주어진 조건을 만족하는 각각의 포물선은 유일하며 두 포물선이 같지 않으므로 준선이 $\displaystyle x$축과 평행하고 꼭짓점의 좌표가 $\displaystyle \left(0,\frac{1}{4}\right)$이며 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{1}$과 $\displaystyle \mathrm{Q}_{2}$를 동시에 지나는 포물선은 없다. 따라서 곡선 $\displaystyle p$는 포물선이 아니다.Correction. 포물선이 아닌 것은 곡선 $\displaystyle q$이다. 여기서 $\displaystyle p$는 $\displaystyle q$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.