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자연계열 3번

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홍익대 서울캠퍼스 2025학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2025su/jayeon_3

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문제 3 (30점)

홍익이는 지난 평창 동계올림픽에서 하프파이프를 타는 스노우보더가 만드는 궤적을 관찰하였다. 스노우보더의 헬멧이 하프파이프의 곡선과 일정한 거리를 두고 움직이듯이, 포물선과 일정한 거리를 두고 움직이는 점이 그리는 곡선에 대해 궁금해졌다.

궁금증을 해결하기 위해, 홍익이는 포물선의 방정식을 y=x2\displaystyle y=x^{2}으로 정하고, 포물선과 포물선의 초점이 포함된 영역(<그림 1>의 영역 α\displaystyle \alpha)에 있는 원과 포물선 사이의 관계에서 다음과 같은 특징을 관찰하였다.

① 원의 중심과 반지름의 길이에 따라 원과 포물선이 만나는 점의 개수 n\displaystyle n은 <그림 1>과 같이 0, 1, 또는 2이다.② 반지름의 길이가 충분히 작은 경우에 원과 포물선이 만나는 점의 개수 n\displaystyle n은 0 또는 1이다.③ 원이 포물선과 한 점에서 만나면서 이동할 때, 원의 중심이 그리는 궤적은 <그림 2>와 같은 형태의 곡선이다.

이에 대해 좀 더 자세히 알아보기 위해 아래와 같이 생각해 보았다.

방정식 y=x2\displaystyle y=x^{2}으로 주어진 포물선을 포물선 p\displaystyle p라 하자. 포물선 p\displaystyle p는 좌표평면을 포물선의 초점이 포함된 영역과 준선이 포함된 영역으로 나눈다. <그림 1>과 같이 포물선의 초점이 포함된 영역과 포물선을 합하여 영역 α\displaystyle \alpha라 정의하자. <그림 2>와 같이 영역 α\displaystyle \alpha에서 반지름의 길이가 14\displaystyle \frac{1}{4}인 원이 포물선 p\displaystyle p와 한 점에서 만나면서 이동할 때 원의 중심 Q(x,y)\displaystyle \mathrm{Q}(x,y)가 그리는 궤적을 곡선 q\displaystyle q라 하자.

<그림 1>은 포물선 p 안쪽의 색칠된 영역 α와 그 안에 놓인 세 원(포물선과 만나는 점의 개수가 각각 n=0, n=1, n=2)을 나타낸 그림. <그림 2>는 포물선 p를 따라 한 점에서 접하며 이동하는 반지름 1/4인 원들과 그 중심 Q(x,y)가 그리는 곡선 q, 그리고 접점 P(t, t²)를 나타낸 그림.
※ 단 O\displaystyle \mathrm{O}는 원점이다.

(1) 영역 α\displaystyle \alpha에서 중심이 C(0,c)\displaystyle \mathrm{C}(0,c)이고 반지름의 길이 r\displaystyle r이 1인 원이 포물선 p\displaystyle p와 서로 다른 두 점에서 만나고 직선 l\displaystyle l은 이 두 점을 지난다. 다음 그림에서 색칠된 두 삼각형의 닮음을 이용하여 이 원의 중심의 좌표 (0,c)\displaystyle (0,c)를 구하고 원과 포물선이 만나는 두 점의 좌표를 구하시오.

포물선 p와, 중심 C(0,c)이고 반지름 1인 원이 두 점에서 만나는 모습. 두 교점을 지나는 직선 l이 그려져 있고, x좌표가 a인 교점 부근에 밑변 1·높이 2a인 직각삼각형과 그와 닮음인 작은 직각삼각형이 색칠되어 있다.

(2) 중심이 C(0,r)\displaystyle \mathrm{C}(0,r)이고 반지름의 길이가 r\displaystyle r인 원이 포물선 p\displaystyle p와 한 점에서 만나기 위한 r\displaystyle r의 최댓값을 구하시오.

(3) 중심이 Q(x,y)\displaystyle \mathrm{Q}(x,y)이고 반지름이 14\displaystyle \frac{1}{4}인 원이 포물선 p\displaystyle p와 <그림 2>와 같이 한 점 P(t,t2)\displaystyle \mathrm{P}(t,t^{2})에서 만날 때, Q(x,y)\displaystyle \mathrm{Q}(x,y)의 좌표는 매개변수 t\displaystyle t에 대한 함수 x=f(t)\displaystyle x=f(t), y=g(t)\displaystyle y=g(t)로 나타낼 수 있다. 이때 함수 f(t)\displaystyle f(t), g(t)\displaystyle g(t)를 구하시오.

(4) 문항(3)과 동일한 상황에서 함수 x=f(t)\displaystyle x=f(t), y=g(t)\displaystyle y=g(t)를 이용하여 t=t0\displaystyle t=t_{0}일 때 곡선 q\displaystyle q 위의 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}에서 접선의 기울기를 구하고, 포물선 p\displaystyle p 위의 점 P(t0,t02)\displaystyle \mathrm{P}\left(t_{0},t_{0}^{2}\right)에서 접선의 기울기를 구하여 두 기울기가 같음을 보이시오.

(5) 문항(3)과 동일한 상황에서 t=38\displaystyle t=\frac{3}{8}일 때와 t=23\displaystyle t=\frac{2}{3}일 때의 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}를 각각 Q1\displaystyle \mathrm{Q}_{1}, Q2\displaystyle \mathrm{Q}_{2}라 하자. 아래의 두 포물선을 비교하여 곡선 q\displaystyle q가 포물선인지 아닌지 설명하시오.· 준선이 x\displaystyle x축과 평행하고 꼭짓점의 좌표가 (0,14)\displaystyle \left(0,\frac{1}{4}\right)이며 점 Q1\displaystyle \mathrm{Q}_{1}을 지나는 포물선· 준선이 x\displaystyle x축과 평행하고 꼭짓점의 좌표가 (0,14)\displaystyle \left(0,\frac{1}{4}\right)이며 점 Q2\displaystyle \mathrm{Q}_{2}를 지나는 포물선

해설강의 준비중

논술 이차곡선과 원의 위치 관계

관련 개념강의 준비중

홍익대 서울캠퍼스 2025학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2025su/jayeon_3

6점 만점 · 삼각형의 닮음꼴을 이용하여 a\displaystyle a를 정확히 구함. (2점) 원의 중심의 좌표 구함. (2점) 세 개의 점의 좌표를 정확히 서술함. (2점)

(1)

포물선 p와 중심 C(0,c)·반지름 1인 원이 두 점에서 만나는 그림. 교점에서의 접선 방향으로 빗변이 √(1+4a²)이고 밑변 1·높이 2a인 직각삼각형과, 그와 닮음인 밑변 2a/√(1+4a²)·높이 1/√(1+4a²)인 작은 직각삼각형이 색칠되어 있다.

원의 중심을 C(0,c)\displaystyle \mathrm{C}(0,c)라 할 때, 옆의 그림에서 닮은꼴 삼각형을 이용하면 다음과 같다.a=2a1+4a2\displaystyle a=\frac{2a}{\sqrt{1+4a^{2}}}이때 a\displaystyle a의 값은(1+4a2)=4\displaystyle (1+4a^{2})=4a=±32\displaystyle a=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}그림에서c=a2+11+4a2=54\displaystyle c=a^{2}+\frac{1}{\sqrt{1+4a^{2}}}=\frac{5}{4}

이므로 원의 중심의 좌표는 (0,54)\displaystyle \left(0,\frac{5}{4}\right), 원과 포물선이 만나는 점의 좌표는 (32,34)\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{4}\right), (−32,34)\displaystyle \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{4}\right)이다.

6점 만점 · 원의 방정식과 포물선의 방정식을 이용하여 식을 구하고 방정식의 근이 하나가 되기 위한 조건을 설명함. (4점) r\displaystyle r의 최댓값 (r=12)\displaystyle \left(r=\frac{1}{2}\right)을 정확히 구함. (2점)

(2)

포물선 p 안쪽의 영역 α와, 원점에서 접하는 크기가 다른 세 원. 반지름이 큰 원(점선)은 영역 α를 벗어난다.

원의 중심이 C(0,r)\displaystyle \mathrm{C}(0,r)이고 반지름이 r\displaystyle r인 원의 방정식은x2+(y−r)2=r2\displaystyle x^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}포물선 y=x2\displaystyle y=x^{2}과 원 x2+(y−r)2=r2\displaystyle x^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}의 교점의 좌표를 구하기 위해 y=x2\displaystyle y=x^{2}를 원의 방정식에 대입하면x2+(x2−r)2=r2\displaystyle x^{2}+\left(x^{2}-r\right)^{2}=r^{2}이 식을 정리하면 다음과 같다.x2(x2−2r+1)=0\displaystyle x^{2}(x^{2}-2r+1)=0여기서 x=0\displaystyle x=0 또는 x2=1−2r\displaystyle x^{2}=1-2r이다.Correction. x2=1−2r\displaystyle x^{2}=1-2r는 x2=2r−1\displaystyle x^{2}=2r-1의 오기이다. 이어지는 조건도 2r−1≤0\displaystyle 2r-1\le0이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.1−2r≤0\displaystyle 1-2r\le0일 때 근은 x=0\displaystyle x=0(따라서 y=0\displaystyle y=0) 하나이므로 r≤12\displaystyle r\le\frac{1}{2}. 따라서, r\displaystyle r의 최댓값은 r=12\displaystyle r=\frac{1}{2}이다.

<별해>포물선 y=x2\displaystyle y=x^{2}과 원 x2+(y−r)2=r2\displaystyle x^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}의 교점의 좌표를 구하기 위해 x2+(y−r)2=r2\displaystyle x^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}를 포물선의 방정식에 대입하면y=r2−(y−r)2\displaystyle y=r^{2}-(y-r)^{2}이 식을 정리하면 다음과 같다.y(y+(1−2r))=0\displaystyle y(y+(1-2r))=0y=x2\displaystyle y=x^{2}이므로 2r−1≤0\displaystyle 2r-1\le0일 때 근은 x=0\displaystyle x=0, y=0\displaystyle y=0 하나만 존재한다. 따라서, r\displaystyle r의 최댓값은 r=12\displaystyle r=\frac{1}{2}이다.

6점 만점 · 매개변수 함수 x=f(t)\displaystyle x=f(t)를 정확히 표현함. (3점) 매개변수 함수 y=g(t)\displaystyle y=g(t)가 정확한 표현함. (3점)

(3)

포물선 위의 점 (t, t²)에서 접하는 반지름 r인 원의 중심 위치를 닮음으로 구하는 그림. 접선 방향의 직각삼각형(밑변 1, 높이 2t)과, 반지름 r를 빗변으로 하고 가로가 2rt/√(1+4t²), 세로가 r/√(1+4t²)인 닮은 직각삼각형이 표시되어 있다.

t>0\displaystyle t>0일 때 다음 그림에서 삼각형의 닮음을 이용하여f(t)=t−2rt4t2+1=t−t24t2+1\displaystyle f(t)=t-\frac{2rt}{\sqrt{4t^{2}+1}}=t-\frac{t}{2\sqrt{4t^{2}+1}}g(t)=t2+r4t2+1=t2+144t2+1\displaystyle g(t)=t^{2}+\frac{r}{\sqrt{4t^{2}+1}}=t^{2}+\frac{1}{4\sqrt{4t^{2}+1}}함수 f\displaystyle f와 g\displaystyle g는 f(−t)=−f(t)\displaystyle f(-t)=-f(t), g(−t)=g(t)\displaystyle g(-t)=g(t)이며 f(0)=0\displaystyle f(0)=0, g(0)=14\displaystyle g(0)=\frac{1}{4}이므로 모든 구간에서 위의 식이 성립한다.

6점 만점 · 점 Q(f(t0),g(t0))\displaystyle \mathrm{Q}(f(t_{0}),g(t_{0}))에서 접선의 기울기 구함. (4점) - 중간 과정에 충분한 설명이 없는 경우. (0점) 점 P(t0,t02)\displaystyle \mathrm{P}\left(t_{0},t_{0}^{2}\right)에서 접선의 기울기 구함. (1점) 두 접선의 기울기가 같음을 설명함. (1점)

(4) 매개변수를 이용하여 점 Q(f(t),g(t))\displaystyle \mathrm{Q}(f(t),g(t))에서의 기울기를 구하면 다음과 같다.dydx=dydtdxdt=g′(t)f′(t)\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}f′(t)=1−124t2+1+2t2(4t2+1)3/2=1−12(4t2+1)3/2\displaystyle f^{\prime}(t)=1-\frac{1}{2\sqrt{4t^{2}+1}}+\frac{2t^{2}}{(4t^{2}+1)^{3/2}}=1-\frac{1}{2(4t^{2}+1)^{3/2}}g′(t)=2t−t(4t2+1)3/2=2t(1−12(4t2+1)3/2)\displaystyle g^{\prime}(t)=2t-\frac{t}{(4t^{2}+1)^{3/2}}=2t\left(1-\frac{1}{2(4t^{2}+1)^{3/2}}\right)g′(t)f′(t)=2t\displaystyle \frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}=2t

점 Q(f(t0),g(t0))\displaystyle \mathrm{Q}(f(t_{0}),g(t_{0}))에서의 기울기는 g′(t0)f′(t0)=2t0\displaystyle \frac{g^{\prime}(t_{0})}{f^{\prime}(t_{0})}=2t_{0} 이다.포물선 p\displaystyle p 위의 점 P(t,t2)\displaystyle \mathrm{P}(t,t^{2})에서 접선의 기울기를 구하면 다음과 같다.dydx=2t\displaystyle \frac{dy}{dx}=2t점 P(t0,t02)\displaystyle \mathrm{P}\left(t_{0},t_{0}^{2}\right)에서의 기울기는 2t0\displaystyle 2t_{0}이다. 따라서 두 접선의 기울기는 같다.

6점 만점 · 점 Q1\displaystyle \mathrm{Q}_{1}, Q2\displaystyle \mathrm{Q}_{2} 구함. (2점)각각의 포물선의 방정식 구함. (2점)두 포물선의 방정식이 일치하지 않음으로 곡선 p\displaystyle p는 포물선이 아니라 설명함. (2점)Correction. 포물선이 아닌 것은 곡선 q\displaystyle q이다. 여기서 p\displaystyle p는 q\displaystyle q의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(5) t=38\displaystyle t=\frac{3}{8}일 때f(38)=38−3824(38)2+1=940\displaystyle f\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{3}{8}-\frac{\dfrac{3}{8}}{2\sqrt{4\left(\dfrac{3}{8}\right)^{2}+1}}=\frac{9}{40} 이고, g(38)=(38)2+144(38)2+1=109320\displaystyle g\left(\frac{3}{8}\right)=\left(\frac{3}{8}\right)^{2}+\frac{1}{4\sqrt{4\left(\dfrac{3}{8}\right)^{2}+1}}=\frac{109}{320} 이므로점 Q1\displaystyle \mathrm{Q}_{1}의 좌표는 (940,109320)\displaystyle \left(\frac{9}{40},\frac{109}{320}\right)이다.

t=23\displaystyle t=\frac{2}{3}일 때f(23)=23−2324(23)2+1=715\displaystyle f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}-\frac{\dfrac{2}{3}}{2\sqrt{4\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+1}}=\frac{7}{15} 이고, g(23)=(23)2+144(23)2+1=107180\displaystyle g\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\frac{1}{4\sqrt{4\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+1}}=\frac{107}{180} 이므로점 Q2\displaystyle \mathrm{Q}_{2}의 좌표는 (715,107180)\displaystyle \left(\frac{7}{15},\frac{107}{180}\right)이다.

준선이 x\displaystyle x축과 평행하고 꼭짓점의 좌표가 (0,14)\displaystyle \left(0,\frac{1}{4}\right)이며 점 Q1(940,109320)\displaystyle \mathrm{Q}_{1}\left(\frac{9}{40},\frac{109}{320}\right)을 지나는 포물선의 방정식을 y=cx2+14\displaystyle y=cx^{2}+\frac{1}{4}라 하면,c=y−14x2=109320−14811600=14581\displaystyle c=\frac{y-\dfrac{1}{4}}{x^{2}}=\frac{\dfrac{109}{320}-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{81}{1600}}=\frac{145}{81} 이므로 y=14581x2+14\displaystyle y=\frac{145}{81}x^{2}+\frac{1}{4}

준선이 x\displaystyle x축과 평행하고 꼭짓점의 좌표가 (0,14)\displaystyle \left(0,\frac{1}{4}\right)이며 점 Q2(715,107180)\displaystyle \mathrm{Q}_{2}\left(\frac{7}{15},\frac{107}{180}\right)을 지나는 포물선의 방정식을 y=dx2+14\displaystyle y=dx^{2}+\frac{1}{4}라 하면,d=y−14x2=107180−1449225=15598\displaystyle d=\frac{y-\dfrac{1}{4}}{x^{2}}=\frac{\dfrac{107}{180}-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{49}{225}}=\frac{155}{98} 이므로 y=15598x2+14\displaystyle y=\frac{155}{98}x^{2}+\frac{1}{4}

주어진 조건을 만족하는 각각의 포물선은 유일하며 두 포물선이 같지 않으므로 준선이 x\displaystyle x축과 평행하고 꼭짓점의 좌표가 (0,14)\displaystyle \left(0,\frac{1}{4}\right)이며 점 Q1\displaystyle \mathrm{Q}_{1}과 Q2\displaystyle \mathrm{Q}_{2}를 동시에 지나는 포물선은 없다. 따라서 곡선 q\displaystyle q는 포물선이 아니다.

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