자연계열 1번

(1) 풀이) $\displaystyle A=B=1,\ \theta=0$ 일 때, $\displaystyle x=\cos2\pi t$, $\displaystyle y=\cos2\pi t$이다. $\displaystyle t$에 따라서 점 $\displaystyle (-1,\,-1)$과 점 $\displaystyle (1,\,1)$을 연결한 선 위에서 진동한다. 따라서, 정답은 전기장의 $\displaystyle x$성분과 전기장의 $\displaystyle y$성분의 관계는 $\displaystyle y=x\,(-1\le x\le1)$이므로 다음과 같다.

(2) 풀이) $\displaystyle x=\cos2\pi t$, $\displaystyle \frac{dx}{dt}=-2\pi\sin2\pi t$와 같다.

또한, $\displaystyle y$는 삼각함수의 덧셈정리에 의해서 아래와 같이 정의된다.$\displaystyle y=\cos\left(2\pi t+\frac{\pi}{3}\right)=\cos2\pi t\times\cos\frac{\pi}{3}-\sin2\pi t\times\sin\frac{\pi}{3}=\cos2\pi t\times\frac{1}{2}-\sin2\pi t\times\frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle y=\frac{1}{2}\cos2\pi t-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\pi t$따라서, $\displaystyle y$를 $\displaystyle t$에 대해서 미분하면,$\displaystyle \frac{dy}{dt}=-\frac{2\pi}{2}\sin2\pi t-\frac{2\sqrt{3}\pi}{2}\cos2\pi t=-\pi\sin2\pi t-\sqrt{3}\pi\cos2\pi t$

이를 이용해 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$에 대해서 정리하면,$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-\pi\sin2\pi t-\sqrt{3}\pi\cos2\pi t}{-2\pi\sin2\pi t}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cot2\pi t$(단, $\displaystyle 2t$는 정수가 아니다.)

(3) 풀이) $\displaystyle A=B=\sqrt{5},\ \theta=\frac{\pi}{2}$ 일 때, $\displaystyle x=\sqrt{5}\cos2\pi t$, $\displaystyle y=\sqrt{5}\cos\left(2\pi t+\frac{\pi}{2}\right)=-\sqrt{5}\sin2\pi t$이다.주기 $\displaystyle p=1$이기 때문에 시각 $\displaystyle t=0$에서 $\displaystyle t=\frac{1}{4}$ 까지 이동한 길이는 다음과 같다.$\displaystyle x=\sqrt{5}\cos2\pi t$, $\displaystyle \frac{dx}{dt}=-2\sqrt{5}\pi\sin2\pi t$와 같다.$\displaystyle y=-\sqrt{5}\sin2\pi t$, $\displaystyle \frac{dy}{dt}=-2\sqrt{5}\pi\cos2\pi t$와 같다.따라서,$\displaystyle \begin{aligned} l &= \int_{0}^{\frac{1}{4}}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt=\int_{0}^{\frac{1}{4}}\sqrt{(2\sqrt{5}\pi)^{2}\sin^{2}2\pi t+(2\sqrt{5}\pi)^{2}\cos^{2}2\pi t}\,dt \\ &= \int_{0}^{\frac{1}{4}}\sqrt{(2\sqrt{5}\pi)^{2}(\sin^{2}2\pi t+\cos^{2}2\pi t)}\,dt=\int_{0}^{\frac{1}{4}}\sqrt{(2\sqrt{5}\pi)^{2}}\,dt \\ &= \int_{0}^{\frac{1}{4}}2\sqrt{5}\pi\,dt=\frac{\sqrt{5}\pi}{2} \end{aligned}$다른 풀이) 또한, $\displaystyle x=\sqrt{5}\cos2\pi t$, $\displaystyle y=\sqrt{5}\sin2\pi t$이기 때문에, $\displaystyle x^{2}+y^{2}=5$임이 성립하며, 원임을 알 수 있다. 따라서, 원주 $\displaystyle 2\sqrt{5}\pi$에서 4로 나누어 준 값 $\displaystyle \frac{\sqrt{5}\pi}{2}$와 같다.Correction. (3)의 다른 풀이에서 $\displaystyle y=\sqrt{5}\sin2\pi t$는 $\displaystyle y=-\sqrt{5}\sin2\pi t$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.답 1) $\displaystyle \frac{\sqrt{5}\pi}{2}$

풀이) $\displaystyle t=0$일 때, $\displaystyle x=\sqrt{5}$, $\displaystyle y=0$이며, $\displaystyle t=\frac{1}{4}$일 때, $\displaystyle x=0$, $\displaystyle y=-\sqrt{5}$임을 알 수 있으며, 전기장은 아래 그림과 같이 진행함을 알 수 있다. 따라서 좌원편광임.

(4) 풀이) $\displaystyle x=3\cos2\pi t$, $\displaystyle y=-2\sin2\pi t$이기 때문에, $\displaystyle 4x^{2}+9y^{2}=36$이므로 타원임을 알 수 있다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_{1},y_{1})$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle 4x_{1}x+9y_{1}y=36$이다.답 1) $\displaystyle 4x_{1}x+9y_{1}y=36$

풀이) $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축과 만나는 점을 각각 M, N은 $\displaystyle \mathrm{M}\left(\frac{9}{x_{1}},0\right)$, $\displaystyle \mathrm{N}\left(0,\frac{4}{y_{1}}\right)$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OMN}$ 넓이 S는$\displaystyle S=\frac{1}{2}\times\frac{9}{x_{1}}\times\frac{4}{y_{1}}=\frac{18}{x_{1}y_{1}}$

점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_{1},y_{1})$이 타원 위의 점이므로, $\displaystyle 4{x_{1}}^{2}+9{y_{1}}^{2}=36$이다. 이때, 산술평균과 기하평균의 관계에 따라 $\displaystyle 36=4{x_{1}}^{2}+9{y_{1}}^{2}\ge2\sqrt{4{x_{1}}^{2}\times9{y_{1}}^{2}}=12x_{1}y_{1}$ 이므로, $\displaystyle x_{1}y_{1}\le3$이다.따라서, $\displaystyle S\ge6$이기 때문에, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OMN}$ 넓이의 최솟값은 6이다.답 2) $\displaystyle 6$