자연계열 3번

해당 12개 기본벡터들의 성분을 3시 방향으로부터 반시계 방향으로 구하면 아래와 같다.$\displaystyle (\sqrt{3},0),\ \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\ \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\ (0,3),\ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\ \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),$$\displaystyle (-\sqrt{3},0),\ \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right),\ (0,-3),\ \left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right),\ \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)$

이 때, A 경로 기본벡터와 B 경로 기본벡터를 구분하면,A 경로 기본벡터: $\displaystyle (\sqrt{3},0),\ \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\ (-\sqrt{3},0),\ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right),\ \left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)$B 경로 기본벡터: $\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\ (0,3),\ \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\ \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right),\ (0,-3),\ \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)$

$\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0$조건을 만족하면서 내적이 최소인 기본벡터 $\displaystyle \overrightarrow{u}$는 $\displaystyle (-\sqrt{3},0)$, $\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)$이다. (위의 그림에서 점선 동그라미로 표시)

이중 전자는 A 경로를 따르므로 $\displaystyle (-\sqrt{3},0)$의 기본벡터를 따라 이동한다.

또한 $\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F_{1}}=(-\sqrt{3},0)\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{2}$ 이다.

(3) 좌표평면상에서$\displaystyle \overrightarrow{F_{2}}=3\overrightarrow{F_{1}}+(\sqrt{3}k,0)=3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{5}{2}\right)+(\sqrt{3}k,0)=\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}k,-\frac{15}{2}\right)$

문항 (2)에서 도출된 $\displaystyle \overrightarrow{u}=(-\sqrt{3},0)$와 방향이 반대인 기본벡터 $\displaystyle -\overrightarrow{u}$ 의 성분은 $\displaystyle (\sqrt{3},0)$이다.이때, $\displaystyle (-\overrightarrow{u})\cdot\overrightarrow{F_{2}}=(\sqrt{3},0)\cdot\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}k,-\frac{15}{2}\right)=-\frac{9}{2}+3k$ 이다.$\displaystyle k=1$ 일 때, $\displaystyle (-\overrightarrow{u})\cdot\overrightarrow{F_{2}}=-\frac{3}{2}$ 이므로 문항 (2)의 $\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0$조건을 만족하지 않아 경로 변경이 불가능하다.$\displaystyle k=2$ 일 때, $\displaystyle (-\overrightarrow{u})\cdot\overrightarrow{F_{2}}=\frac{3}{2}$ 이므로 문항 (2)의 $\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0$조건을 만족한다.

$\displaystyle k=2$ 일 때, 문항 (1)에서 도출한 나머지 기본벡터들과 $\displaystyle \overrightarrow{F_{2}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{15}{2}\right)$의 내적을 계산하면 아래와 같다.우선, $\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0$ 인 조건을 고려하면, 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{u},\overrightarrow{F}$가 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta\,(0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ})$일 때 $\displaystyle \theta<90^{\circ}$ 인 경우만 고려하면 된다. 이 경우,$\displaystyle \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\overrightarrow{F_{2}}=\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{15}{2}\right)=9$따라서 $\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0$ 조건 만족하지만 $\displaystyle \frac{3}{2}$ 보다 크다.$\displaystyle \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\overrightarrow{F_{2}}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{15}{2}\right)=\frac{21}{2}$따라서 $\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0$ 조건 만족하지만 $\displaystyle \frac{3}{2}$ 보다 크다.$\displaystyle (0,-3)\cdot\overrightarrow{F_{2}}=(0,-3)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{15}{2}\right)=\frac{45}{2}$따라서 $\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0$ 조건 만족하지만 $\displaystyle \frac{3}{2}$ 보다 크다.$\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\overrightarrow{F_{2}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{15}{2}\right)=12$따라서 $\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0$ 조건 만족하지만 $\displaystyle \frac{3}{2}$ 보다 크다.$\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\overrightarrow{F_{2}}=\left(\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{15}{2}\right)=\frac{27}{2}$따라서 $\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0$ 조건 만족하지만 $\displaystyle \frac{3}{2}$ 보다 크다.따라서 $\displaystyle k=2$ 일 때, 전자는 문항 (2)에서 도출된 경로의 반대경로로 이동하며, 해당 경로의 단위벡터 성분은 $\displaystyle (\sqrt{3},0)$이다.Correction. $\displaystyle (\sqrt{3},0)$은 길이가 $\displaystyle \sqrt{3}$이므로 단위벡터가 아니다. 여기서 ‘단위벡터’는 ‘기본벡터’를 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.