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홍익대 서울캠퍼스 2026학년도 수시 자연계열 3번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2026su/jayeon_3

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문제

문제 3 (30점)

그래핀은 탄소 원자가 정육각형 형태로 무한히 반복되는 벌집모양의 격자구조를 갖는 물질이다. 그래핀의 격자 내 전자는 외부 전자기력에 의해 초기 위치로부터 A 타입 이동경로 (이하 A 경로) 또는 B 타입 이동경로 (이하 B 경로)를 따라 이동한다. 아래 그림은 그래핀 내에서 가능한 A 경로와 B 경로의 예시이며, 각각의 경로는 기본벡터를 사용하여 간략하게 나타낼 수 있다. 이때, 예시 1의 기본벡터와 크기가 같은 기본벡터를 갖는 경로를 'A 경로', 예시 3의 기본벡터와 크기가 같은 기본벡터를 갖는 경로를 'B 경로'로 정의한다. 전자는 초기 위치로부터 A 또는 B 경로만을 따라 이동하며, A 경로를 따라 이동하는 중 B 경로를 따라 이동할 수 없으며, B 경로를 따라 이동하는 중 A 경로를 따라 이동할 수 없다. (단, 외부 전자기력이 변화하면 경로변경 가능하다.)

그래핀 벌집 격자 위의 전자 이동경로 예시 네 가지와, 각 경로를 기본벡터 하나로 나타낸 그림. 예시 1·2는 A 타입, 예시 3·4는 B 타입이다.

(1) 아래의 그래핀 격자 내 전자의 초기 위치를 (0,0)\displaystyle (0,0)이라고 할 때, 임의의 외부 전자기력에 대하여 해당 전자가 가질 수 있는 모든 이동경로에 대한 12개의 기본벡터들을 성분으로 나타내시오. 또한, 12개의 기본벡터들을 취하는 경로들이 A인지 B인지 각각 구분하시오. (아래 좌표평면에서 정육각형의 한 변의 길이는 1이다.)

원점 (0,0)을 중심에 둔 그래핀 벌집 격자를 좌표평면 위에 그린 그림. 정육각형 한 변의 길이가 1로 표시되어 있다.

(2) 전자는 그래핀 격자 내에서 기본벡터 u→\displaystyle \overrightarrow{u}와 전자기력 벡터 F→\displaystyle \overrightarrow{F}의 내적 u→⋅F→>0\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0이면서, u→⋅F→\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}가 최소인 경로를 따라 이동한다. 아래 그림과 같이 전자기력 벡터 F1→\displaystyle \overrightarrow{F_{1}}을 가해 주었을 때, 전자는 문항 (1)에서 도출한 기본벡터들 중, 어떠한 기본벡터를 갖는 경로로 이동할지 그 성분을 나타내시오. 또한, 해당 기본벡터와 F1→\displaystyle \overrightarrow{F_{1}}의 내적을 구하시오. (단, A 경로와 B 경로의 기본벡터들과 F1→\displaystyle \overrightarrow{F_{1}}의 내적이 동일한 경우, 전자는 A 경로로 이동한다.)

같은 그래핀 격자 위에 원점에서 왼쪽 아래로 향하는 전자기력 벡터 F₁을 그린 그림.

(3) 문항 (2)에서 전자기력 벡터 F1→\displaystyle \overrightarrow{F_{1}}을 F2→=3F1→+(3k,0)\displaystyle \overrightarrow{F_{2}}=3\overrightarrow{F_{1}}+(\sqrt{3}k,0)로 변화시켰다. 이때, 전자의 이동이 문항 (2)에서 도출된 경로로부터 반대 경로로 변경되는 양의 정수 k\displaystyle k의 최솟값을 구하시오. (단, 반대 경로란 방향이 반대인 기본벡터 −u→\displaystyle -\overrightarrow{u} 를 갖는 경로를 의미한다.)

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(1) 문항 (1)에서 주어진 좌표평면상에서 전자의 초기 위치 (0,0)\displaystyle (0,0)으로부터 가능한 모든 A 경로와 B 경로들을 해당 기본벡터들로 표시하면 아래 그림과 같다.

원점에서 뻗어 나가는 12개의 기본벡터. 길이가 짧은 여섯 개(A 경로)는 빨강, 긴 여섯 개(B 경로)는 파랑으로 그려져 있다.
+5점 · 6개 기본벡터들의 좌표를 모두 정확하게 적고, A 경로 B 경로 구분을 모두 정확하게 한 경우

해당 12개 기본벡터들의 성분을 3시 방향으로부터 반시계 방향으로 구하면 아래와 같다.(3,0), (332,32), (32,32), (0,3), (−32,32), (−332,32),\displaystyle (\sqrt{3},0),\ \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\ \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\ (0,3),\ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\ \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),(−3,0), (−332,−32), (−32,−32), (0,−3), (32,−32), (332,−32)\displaystyle (-\sqrt{3},0),\ \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right),\ (0,-3),\ \left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right),\ \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)

+5점 · 나머지 6개 기본벡터들의 좌표를 모두 정확하게 적고, A 경로 B 경로 구분을 모두 정확하게 한 경우

이 때, A 경로 기본벡터와 B 경로 기본벡터를 구분하면,A 경로 기본벡터: (3,0), (32,32), (−32,32), (−3,0), (−32,−32), (32,−32)\displaystyle (\sqrt{3},0),\ \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\ (-\sqrt{3},0),\ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right),\ \left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)B 경로 기본벡터: (332,32), (0,3), (−332,32), (−332,−32), (0,−3), (332,−32)\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\ (0,3),\ \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right),\ \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right),\ (0,-3),\ \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)

(2) 좌표평면상에서 F1→\displaystyle \overrightarrow{F_{1}} 의 성분은 (−32,−52)\displaystyle \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{5}{2}\right)이며, 이를 문항 (1)로부터 도출한 기본벡터들과 함께 좌표평면에 나타내면 아래와 같다.

12개 기본벡터와 전자기력 벡터 F₁을 함께 그린 그림. 내적이 최소가 되는 두 기본벡터가 점선 동그라미로 표시되어 있다.
+4점 · u→⋅F1→>0\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F_{1}}>0 조건을 만족하면서 내적이 최소인 기본벡터 u→\displaystyle \overrightarrow{u} 두 개 모두 정확하게 적고, A 경로인지 B 경로 인지 정확하게 명시한 경우

u→⋅F→>0\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0조건을 만족하면서 내적이 최소인 기본벡터 u→\displaystyle \overrightarrow{u}는 (−3,0)\displaystyle (-\sqrt{3},0), (332,−32)\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)이다. (위의 그림에서 점선 동그라미로 표시)

+3점 · 이동경로에 대한 기본벡터를 정확하게 명시한 경우

이중 전자는 A 경로를 따르므로 (−3,0)\displaystyle (-\sqrt{3},0)의 기본벡터를 따라 이동한다.

+3점 · 내적값을 정확하게 적은 경우

또한 u→⋅F1→=(−3,0)⋅(−32,−52)=32\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F_{1}}=(-\sqrt{3},0)\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{2} 이다.

+2점 · F2→\displaystyle \overrightarrow{F_{2}}의 성분벡터를 k\displaystyle k에 대하여 정확하게 구한 경우

(3) 좌표평면상에서F2→=3F1→+(3k,0)=3(−32,−52)+(3k,0)=(−332+3k,−152)\displaystyle \overrightarrow{F_{2}}=3\overrightarrow{F_{1}}+(\sqrt{3}k,0)=3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{5}{2}\right)+(\sqrt{3}k,0)=\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}k,-\frac{15}{2}\right)

+6점 · k\displaystyle k의 최솟값을 정확하게 구한 경우

문항 (2)에서 도출된 u→=(−3,0)\displaystyle \overrightarrow{u}=(-\sqrt{3},0)와 방향이 반대인 기본벡터 −u→\displaystyle -\overrightarrow{u} 의 성분은 (3,0)\displaystyle (\sqrt{3},0)이다.이때, (−u→)⋅F2→=(3,0)⋅(−332+3k,−152)=−92+3k\displaystyle (-\overrightarrow{u})\cdot\overrightarrow{F_{2}}=(\sqrt{3},0)\cdot\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}k,-\frac{15}{2}\right)=-\frac{9}{2}+3k 이다.k=1\displaystyle k=1 일 때, (−u→)⋅F2→=−32\displaystyle (-\overrightarrow{u})\cdot\overrightarrow{F_{2}}=-\frac{3}{2} 이므로 문항 (2)의 u→⋅F→>0\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0조건을 만족하지 않아 경로 변경이 불가능하다.k=2\displaystyle k=2 일 때, (−u→)⋅F2→=32\displaystyle (-\overrightarrow{u})\cdot\overrightarrow{F_{2}}=\frac{3}{2} 이므로 문항 (2)의 u→⋅F→>0\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0조건을 만족한다.

+2점 · F2→\displaystyle \overrightarrow{F_{2}} 와 −u→\displaystyle -\overrightarrow{u} 와의 내적을 통하여 k\displaystyle k의 최솟값 도출과정을 적은 경우

k=2\displaystyle k=2 일 때, 문항 (1)에서 도출한 나머지 기본벡터들과 F2→=(32,−152)\displaystyle \overrightarrow{F_{2}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{15}{2}\right)의 내적을 계산하면 아래와 같다.우선, u→⋅F→>0\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0 인 조건을 고려하면, 두 벡터 u→,F→\displaystyle \overrightarrow{u},\overrightarrow{F}가 이루는 각의 크기가 θ (0∘≤θ≤180∘)\displaystyle \theta\,(0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ})일 때 θ<90∘\displaystyle \theta<90^{\circ} 인 경우만 고려하면 된다. 이 경우,(−332,−32)⋅F2→=(−332,−32)⋅(32,−152)=9\displaystyle \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\overrightarrow{F_{2}}=\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{15}{2}\right)=9따라서 u→⋅F→>0\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0 조건 만족하지만 32\displaystyle \frac{3}{2} 보다 크다.(−32,−32)⋅F2→=(−32,−32)⋅(32,−152)=212\displaystyle \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\overrightarrow{F_{2}}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{15}{2}\right)=\frac{21}{2}따라서 u→⋅F→>0\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0 조건 만족하지만 32\displaystyle \frac{3}{2} 보다 크다.(0,−3)⋅F2→=(0,−3)⋅(32,−152)=452\displaystyle (0,-3)\cdot\overrightarrow{F_{2}}=(0,-3)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{15}{2}\right)=\frac{45}{2}따라서 u→⋅F→>0\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0 조건 만족하지만 32\displaystyle \frac{3}{2} 보다 크다.(32,−32)⋅F2→=(32,−32)⋅(32,−152)=12\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\overrightarrow{F_{2}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{15}{2}\right)=12따라서 u→⋅F→>0\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0 조건 만족하지만 32\displaystyle \frac{3}{2} 보다 크다.(332,−32)⋅F2→=(332,−32)⋅(32,−152)=272\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\overrightarrow{F_{2}}=\left(\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{15}{2}\right)=\frac{27}{2}따라서 u→⋅F→>0\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{F}>0 조건 만족하지만 32\displaystyle \frac{3}{2} 보다 크다.따라서 k=2\displaystyle k=2 일 때, 전자는 문항 (2)에서 도출된 경로의 반대경로로 이동하며, 해당 경로의 단위벡터 성분은 (3,0)\displaystyle (\sqrt{3},0)이다.Correction. (3,0)\displaystyle (\sqrt{3},0)은 길이가 3\displaystyle \sqrt{3}이므로 단위벡터가 아니다. 여기서 ‘단위벡터’는 ‘기본벡터’를 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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