자연계열 2번

(1) 우선 확률변수 $\displaystyle X_{1}$의 확률분포를 구하자. 확률변수 $\displaystyle X_{1}$가 가질 수 있는 값은 $\displaystyle 0,1$이고, $\displaystyle P(X_{1}=1|X_{0}=0)=\frac{1}{2}$, $\displaystyle P(X_{1}=0|X_{0}=0)=\frac{1}{2}$이므로$\displaystyle P(X_{1}=0)=P(X_{0}=0)P(X_{1}=0|X_{0}=0)=\frac{1}{2}$$\displaystyle P(X_{1}=1)=P(X_{0}=0)P(X_{1}=1|X_{0}=0)=\frac{1}{2}$확률변수 $\displaystyle X_{2}$가 가질 수 있는 값은 $\displaystyle 1,2,3$이다:Correction. $\displaystyle X_2$가 가질 수 있는 값은 $\displaystyle 0,1,2$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

• $\displaystyle X_{2}=2$; $\displaystyle X_{1}=1$이고 $\displaystyle X_{2}=1$인 경우$\displaystyle P(X_{2}=2)=P(X_{1}=1)P(X_{2}=1|X_{1}=1)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$Correction. $\displaystyle X_2=2$인 경우를 설명하는 문장과 이어지는 조건부확률의 $\displaystyle X_2=1$은 모두 $\displaystyle X_2=2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

• $\displaystyle X_{2}=1$; $\displaystyle X_{1}=0$이고 $\displaystyle X_{2}=1$인 경우$\displaystyle P(X_{2}=1)=P(X_{1}=0)P(X_{2}=1|X_{1}=0)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

• $\displaystyle X_{2}=0$; $\displaystyle X_{1}=0$이고 $\displaystyle X_{2}=0$인 경우 또는 $\displaystyle X_{1}=1$이고 $\displaystyle X_{2}=0$인 경우$\displaystyle \begin{aligned} P(X_{2}=0) &= P(X_{1}=0)P(X_{2}=0|X_{1}=0)+P(X_{1}=1)P(X_{2}=0|X_{1}=1) \\ &= \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{7}{12} \end{aligned}$

즉, 확률변수 $\displaystyle X_{2}$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

(2) $\displaystyle X_{3}=0$의 확률은 다음과 같이 생각해 볼 수 있다.$\displaystyle P(X_{3}=0)=P(X_{2}=0)P(X_{3}=0|X_{2}=0)+P(X_{2}\ne0)P(X_{3}=0|X_{2}\ne0)$

$\displaystyle P(X_{2}=0)P(X_{3}=0|X_{2}=0)=\frac{7}{12}\times\frac{1}{2}=\frac{7}{24}$

$\displaystyle P(X_{2}\ne0)P(X_{3}=0|X_{2}\ne0)=P(X_{2}=1)P(X_{3}=0|X_{2}=1)+P(X_{2}=2)P(X_{3}=0|X_{2}=2)=\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}+\frac{1}{6}\times\frac{3}{4}=\frac{7}{24}$$\displaystyle \therefore P(X_{3}=0)=\frac{7}{24}+\frac{7}{24}=\frac{7}{12}$

(3) 한 번의 작업에서 사건 $\displaystyle C$가 일어날 확률은 $\displaystyle p=\mathrm{P}(X_{3}=0)=\frac{7}{12}$ 로 일정하므로, 확률변수 $\displaystyle Y$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(m,\frac{7}{12}\right)$를 따른다.

$\displaystyle \mathrm{V}(2Y+3)=2^{2}\mathrm{V}(Y)=2^{2}\times m\times\frac{7}{12}\times\frac{5}{12}=280$

이므로 $\displaystyle m=288$이다.

(4) $\displaystyle \mathrm{E}(Y)=288\times\frac{7}{12}=168$이므로, $\displaystyle \mathrm{E}(2Y-3)=2\mathrm{E}(Y)-3=333$, $\displaystyle \mathrm{V}(2Y-3)=280$이다.

$\displaystyle mp=288\times\frac{7}{12}=168\ge5$이고 $\displaystyle m(1-p)=288\times\frac{5}{12}=120\ge5$이므로 $\displaystyle n$은 충분히 크다.Correction. 여기서 충분히 큰 것은 게임을 세 번 시행하는 작업의 반복 횟수 $\displaystyle m$이다. $\displaystyle n$은 $\displaystyle m$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그러므로 이항분포와 정규분포의 관계를 이용하면

$\displaystyle \mathrm{P}(2Y-3\ge a)=\mathrm{P}\left(Z\ge\frac{a-333}{\sqrt{280}}\right)=\mathrm{P}(Z\ge0)=0.5$

즉, 확률변수 $\displaystyle 2Y-3$가 $\displaystyle a=333$ 이상일 확률이 0.5이다.$\displaystyle \therefore a=333$