자연계열 2번

① 구간 $\displaystyle \left[0,\frac{2R}{3}\right]$에 있는 임의의 수 $\displaystyle x$에 대해서 $\displaystyle t=x$에서 단면의 반지름을 $\displaystyle r(x)$라고 하면 원의 방정식 $\displaystyle y^2+(x-R)^2=R^2$으로부터 $\displaystyle r(x)=\sqrt{R^2-(x-R)^2}=\sqrt{2Rx-x^2}$가 된다. 따라서 $\displaystyle t=x$에서 단면의 넓이를 $\displaystyle A(x)$라 하면 $\displaystyle A(x)=\pi(2Rx-x^2)$이 된다.

반구형 그릇의 구간 $\displaystyle [x,x+\Delta x]$ 사이에 있는 액체의 부피를 $\displaystyle \Delta V$라고 하면 $\displaystyle \Delta V=V(x+\Delta x)-V(x)$이고, $\displaystyle A(x)$가 증가함수 이므로 그림에서 $\displaystyle A(x)\Delta x<\Delta V<A(x+\Delta x)\Delta x$가 성립됨을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle A(x)<\frac{\Delta V}{\Delta x}<A(x+\Delta x)$이고, $\displaystyle A(x)=\pi(2Rx-x^2)$이므로$\displaystyle \pi(2Rx-x^2)<\frac{\Delta V}{\Delta x}<\pi(2R(x+\Delta x)-(x+\Delta x)^2)$이 된다. 여기에서 $\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}(\pi(2R(x+\Delta x)-(x+\Delta x)^2)=\pi(2Rx-x^2)$이므로 $\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta V}{\Delta x}=\pi(2Rx-x^2)$이 된다. 여기에서 $\displaystyle A(x)=\pi(2Rx-x^2)$이므로 $\displaystyle \frac{dV(x)}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta V}{\Delta x}=A(x)$이 된다.