자연계열 3번

(가) 몸무게가 60kg인 건강한 사람의 혈액은 약 5L이며, 이 중에서 55%는 혈장이고 45%가 혈구이다. 혈액은 한순간도 쉬지 않고 온몸 구석구석으로 생명의 유지에 필요한 물질을 운반하고, 반대로 세포에서 만들어진 노폐물을 운반하여 신장을 통해 오줌의 형태로 몸 밖으로 배설하게 한다. 우리 몸속을 흐르는 혈액은 시간당 125L의 비율로 신장 속으로 흘러 들어가 정화된다.

(나) 혈액은 [그림 1]과 같이 신동맥을 통해 신장으로 들어간다. 신동맥은 더 작은 소동맥으로 갈라져서 사구체로 들어가고, 사구체에서 다시 모세혈관으로 갈라진다. 혈액 속의 혈구, 단백질, 지방 등을 제외한 분자 크기가 작은 혈장 성분들은 보먼 주머니로 빠져 나간다. 이와 같은 현상을 여과라 하고 여과된 액체를 원뇨라 한다. 이 때 신동맥을 통해서 신장으로 들어가는 혈액 속의 혈장은 주로 수분, 요소, 포도당, 아미노산, 무기 염류, 단백질 등으로 이루어져 있으며, 100mL의 혈장에는 요소 0.03g, 포도당 0.1g, 아미노산 0.05g, 무기 염류 0.9g, 단백질 8g이 들어 있다. 신동맥을 통해서 들어온 혈장의 10%가 보먼 주머니로 빠져 나간다. 즉, 100mL의 혈장이 신동맥으로 들어갈 때, 10mL의 원뇨가 생성된다. 이 때 혈장과 원뇨 속에 있는 단위 부피당 요소, 포도당, 아미노산, 무기 염류의 양은 동일하게 유지된다.

(다) 보먼 주머니로 여과된 원뇨 성분의 일부는 세뇨관을 둘러싼 모세혈관 속으로 다시 흡수되는데 이 과정을 재흡수라고 한다. 건강한 사람의 경우 포도당과 아미노산은 100%, 수분과 무기 염류는 99%, 요소는 40%가 재흡수되고 나머지는 오줌으로 배출된다. 한편, 사구체에서 여과되지 않고 남아있는 노폐물 중 일부는 세뇨관으로 분비되기도 하지만 요소는 분비되지 않는다.

(라) 지구상에 있는 모든 물체는 지구 중심으로 향하는 중력을 받는다. 그러므로 지면에서 어떤 높이에 있는 질량 $\displaystyle m$인 물체는 연직 방향으로 크기가 $\displaystyle mg$인 중력을 받아 낙하하면서 다른 물체에 일을 할 수 있다. 여기에서 $\displaystyle g$는 중력가속도의 크기이다. 이와 같이 기준면에 대해서 높은 곳에 있는 물체가 가지고 있는 에너지를 중력에 의한 위치 에너지 또는 간단히 위치 에너지라고 한다. 위치 에너지를 가지고 있는 물체는 어떤 일을 할 수 있을까? 기준면에 놓여있는 질량이 $\displaystyle m$인 물체를 들어 올리는데 필요한 힘의 크기 $\displaystyle F$는 물체에 작용하는 중력의 크기 $\displaystyle mg$와 같다. 물체를 높이 $\displaystyle h$인 곳까지 들어올리는데 한 일 $\displaystyle W$는 $\displaystyle W=Fh=mgh$이고 높이 $\displaystyle h$인 곳에 있는 물체는 $\displaystyle mgh$만큼의 에너지를 갖게 된다. 한편, 물체가 높이 $\displaystyle h$만큼 낙하할 때에는 $\displaystyle mgh$만큼의 일을 다른 물체에 할 수 있다. 따라서 기준면에서 높이 $\displaystyle h$인 위치에 있는 질량 $\displaystyle m$인 물체의 중력에 의한 위치 에너지는 $\displaystyle mgh$이다. 이 식에서 물체의 중력에 의한 위치 에너지는 물체의 질량이 클수록, 높이가 높을수록 크다는 것을 알 수 있다.

(마) 반지름이 $\displaystyle R$인 반구형 그릇이 [그림 2]와 같이 연직 방향의 $\displaystyle t$축을 중심축으로 하여 지표면($\displaystyle t=0$) 위에 놓여 있다. 이 그릇에 밀도가 $\displaystyle k$인 액체가 $\displaystyle t=\frac{2R}{3}$까지 담겨있다. 지표면을 기준면으로 하여 그릇에 담긴 액체의 위치 에너지를 구해보자. 중심축의 한 점 $\displaystyle t=x$에서 (단, $\displaystyle 0\leqq x\leqq\frac{2R}{3}$) 축에 수직인 단면의 넓이를 $\displaystyle A(x)$, 그 단면 아래 액체의 부피를 $\displaystyle V(x)$라 하자. 구간 $\displaystyle [x,x+\Delta x]$ 사이의 액체는 $\displaystyle \Delta x$가 충분히 작으면 높이가 $\displaystyle \Delta x$인 원기둥으로 볼 수 있다. 이 원기둥의 지표면으로부터의 높이는 $\displaystyle x$, 부피는 $\displaystyle A(x)\Delta x$로 근사할 수 있고, 이로부터 이 원기둥의 위치 에너지를 구할 수 있다. 그릇에 담긴 액체의 위치 에너지는 이와 같이 액체를 여러 개의 원기둥들로 나누고, 각각의 원기둥의 위치 에너지를 합하여 구할 수 있다.

(바) 함수 $\displaystyle y=f(x)$가 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이라 하자. 구간 $\displaystyle [a,b]$를 $\displaystyle n$등분하여 양 끝점을 포함한 각 등분점의 $\displaystyle x$좌표를 차례로$\displaystyle a=x_0,\ x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{n-1},\ x_n=b$라 하고, 소구간의 길이를 $\displaystyle \Delta x$라 하면 $\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n}$이고, $\displaystyle x_k=a+k\Delta x$ ($\displaystyle k=0,1,2,\cdots,n$)가 성립한다([그림 3] 참조). 이 때,$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x+\cdots+f(x_{n-1})\Delta x+f(x_n)\Delta x\\&=\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x\end{aligned}$라 하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$은 항상 존재함이 알려져 있다. 이 극한값을 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle b$까지의 함수 $\displaystyle f(x)$의 정적분이라 하고 기호로 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx$로 나타낸다. 이를 정리하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x=\int_a^b f(x)dx$이다.

(사) 함수의 그래프 아래의 넓이와 미분과의 관계를 함수 $\displaystyle f(t)=5-t^2$의 예를 통해 알아보자. [그림 4]와 같이 구간 $\displaystyle [1,2]$에 있는 임의의 수 $\displaystyle x$에 대해, $\displaystyle 1$에서 $\displaystyle x$까지 $\displaystyle f(t)$의 그래프 아래의 넓이를 $\displaystyle S(x)$라 하자. 이 때 $\displaystyle x$의 증분 $\displaystyle \Delta x$ ($\displaystyle \Delta x>0$)에 대한 $\displaystyle S(x)$의 증분을 $\displaystyle \Delta S$라 하면 $\displaystyle \Delta S=S(x+\Delta x)-S(x)$이다. 그런데 [그림 4]에서 구간 $\displaystyle [x,x+\Delta x]$ 사이의 빗금친 부분은 밑변의 길이가 $\displaystyle \Delta x$, 높이가 $\displaystyle f(x)$인 직사각형에 포함되고, 높이가 $\displaystyle f(x+\Delta x)$인 직사각형을 포함한다. 즉, $\displaystyle (5-(x+\Delta x)^2)\Delta x<\Delta S<(5-x^2)\Delta x$이다. 이 부등식의 각 항을 $\displaystyle \Delta x$로 나누면$\displaystyle (5-(x+\Delta x)^2)<\frac{\Delta S}{\Delta x}<(5-x^2)$이다. 극한 $\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}(5-(x+\Delta x)^2)=5-x^2$으로부터 $\displaystyle \frac d{dx}S(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta S}{\Delta x}=5-x^2$이 된다. 따라서 $\displaystyle S(x)$를 미분하면 $\displaystyle f(x)$가 됨을 알 수 있다.