자연계열 1번

(논제 1) 대체로 다음 두 가지 방법으로 풀 수가 있다.(가) 빛이 곡선의 주어진 한 점에서 반사할 때에는, 그 점에서 곡선에 접하는 접선이 반사면의 역할을 한다. 먼저 접선의 식을 구해보자. 포물선 $\displaystyle y=\frac14x^2$ 위의 점 $\displaystyle (2,1)$에서의 접선은, $\displaystyle y^{\prime}=\frac12x$에서 기울기가 1이므로, $\displaystyle y-1=1\cdot(x-2)$에서 $\displaystyle y=x-1$이다. 입사각은 들어오는 빛과 반사면과 수직한 직선이 이루는 각이므로, 점 $\displaystyle (2,1)$에서의 수직선(법선)의 식을 구해보자. 서로 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 -1 이므로, 수직선의 기울기는 -1 이다. 따라서 점 $\displaystyle (2,1)$에서 접선에 수직인 직선의 방정식은 $\displaystyle y-1=-1\cdot(x-2)$에서 $\displaystyle y=-x+3$이다. 이 수직선이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각은 $\displaystyle \frac{3\pi}4$이고, 입사하는 빛의 경로 $\displaystyle x=2$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각은 $\displaystyle \frac\pi2$이다. 입사각은 $\displaystyle x=2$가 $\displaystyle y=-x+3$과 이루는 각이므로, $\displaystyle \frac{3\pi}4-\frac\pi2=\frac\pi4$이 된다. 반사각은 입사각과 같다는 성질을 이용하면, 반사하는 빛 역시 수직선 $\displaystyle y=-x+3$과 $\displaystyle \frac\pi4$의 각을 이룬다. 그러므로 반사하는 빛은 입사하는 빛과 $\displaystyle \frac\pi4+\frac\pi4=\frac\pi2$, 즉 수직이 된다. 따라서 반사하는 빛은 $\displaystyle x$축과 평행하고, 곡선 위의 점 $\displaystyle (2,1)$을 지나므로, 식으로 표현하면 $\displaystyle y=1$이 되고, 포물선의 초점 $\displaystyle F(0,1)$을 지나게 된다.