자연계열 3번

(논제 3)점 $\displaystyle A$에서 출발한 빛이 점 $\displaystyle X$를 경유하여 점 $\displaystyle B$에 도달할 때까지 걸리는 시간은 $\displaystyle x$에 관한 함수이므로, 이 값을 $\displaystyle f(x)$라고 하자. 편의상 (점 $\displaystyle A$에서 점 $\displaystyle X$까지 진행하는데 걸리는 시간)을 $\displaystyle T_1$, (점 $\displaystyle X$에서 점 $\displaystyle B$까지 진행하는데 걸리는 시간)을 $\displaystyle T_2$라 두자. $\displaystyle AX$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{a^2+x^2}$이고, $\displaystyle XB$의 길이는 $\displaystyle b-x$이므로,$\displaystyle f(x)=T_1+T_2=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_2}+\frac{b-x}{v_1}\quad(0\le x\le b)$이다.

$\displaystyle f(x)$의 최소값을 구하기 위해 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle x$에 대해서 미분하자. 무리함수와 합성함수의 미분법에 의해$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\frac1{2v_2}(a^2+x^2)^{-\frac12}(a^2+x^2)^{\prime}-\frac1{v_1}\\&=\frac{x}{v_2\sqrt{a^2+x^2}}-\frac1{v_1}\end{aligned}$가 된다. $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=x_0$에서 최소값을 가진다면, $\displaystyle f^{\prime}(x_0)=0$이 되어Caution. $\displaystyle x_0=\frac{av_2}{\sqrt{v_1^2-v_2^2}}$에서 최솟값을 가지려면 $\displaystyle x_0\le b$여야 한다. $\displaystyle b<x_0$이면 $\displaystyle [0,b]$에서 계속 감소하므로 최솟값은 $\displaystyle x=b$에서 얻는다.$\displaystyle \frac{x_0}{v_2\sqrt{a^2+x_0^2}}=\frac1{v_1}$이 성립한다.한편 $\displaystyle \sin\theta_0=\frac{x_0}{\sqrt{a^2+x_0^2}}$이므로, 위의 등식에 따르면 $\displaystyle \sin\theta_0=\frac{v_2}{v_1}$이다.