자연계열 3번

인하대 2008학년도 모의 3회 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2008mo_3/jayeon_3

■ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.

(가) 진행하는 빛은 다른 매질을 만나면 반사되기도 하고 굴절되기도 한다. 거울 면에 부딪힌 빛은 반사되며, 공기 중에서 물 속으로 진행하는 빛은 굴절된다. 이 두 현상을 각각 반사의 법칙과 굴절의 법칙으로 설명할 수 있다. 이 두 법칙을 한 가지 원리로 설명할 수는 없을까? 17세기 프랑스의 수학자 페르마는, 빛은 반사나 굴절에 관계없이 출발점에서 도달점에 도착할 때까지 시간이 가장 적게 드는 경로를 선택해서 진행한다는 사실을 발견하였다. 그리고 이 사실로부터 역으로 반사의 법칙과 굴절의 법칙을 도출하였다. 따라서 “빛은 시간을 최소화하는 경로로 진행한다”라는 것을 하나의 원리로 설정하면 빛의 반사와 굴절 현상은 이 원리의 결과로 볼 수 있다. 즉, 반사와 굴절 현상은 각기 다른 것이 아니라 하나의 원리가 서로 다른 물리적 상황 속에서 일어나는 결과일 뿐이다.

(나) 동일한 매질 속에 금속판이 그림 1과 같이 놓여 있고, 점 $\displaystyle A$ 에서 출발한 빛이 점 $\displaystyle C$ 에서 반사한 다음 점 $\displaystyle B$ 에 도달하였다고 하자. 같은 매질 속에서는 빛의 속력은 일정하므로 ‘시간을 최소화하는 경로’는 ‘거리가 최소인 경로’와 동일하다. 그러면 ‘거리가 최소인 경로’에서는 입사각 $\displaystyle \angle ACP$ 와 반사각 $\displaystyle \angle PCB$ 는 같게 된다. 이것을 반사의 법칙이라고 한다.다음으로 굴절현상을 살펴보기로 하자. 일반적으로 서로 다른 매질 속에서는 빛의 속력이 바뀌는데 이 속력의 차이로 굴절률을 정의한다. 그림 2와 같이 매질 I과 매질 II가 맞닿아 있고, 빛이 매질 I에 있는 점 $\displaystyle A$ 에서 두 매질의 경계면에 있는 지점 $\displaystyle C$ 를 통과하여 매질 II에 있는 점 $\displaystyle B$ 에 도달한다고 하자. 매질 I에서의 빛의 속력을 $\displaystyle v_1$ , 매질 II에서의 빛의 속력을 $\displaystyle v_2$ 라고 하자. 그리고 점 $\displaystyle C$ 에서 두 매질의 경계면에 수직인 직선을 그림 2와 같이 점선으로 표시하자. 마지막으로 입사각 $\displaystyle \angle ACP$ 를 $\displaystyle \theta_1$ 이라고 하고 굴절각 $\displaystyle \angle QCB$ 를 $\displaystyle \theta_2$ 라고 하자. 그러면 점 $\displaystyle A$ 에서 출발한 빛이 점 $\displaystyle B$ 에 도달할 경우, $\displaystyle C$ 를 통과할 때가 시간이 가장 적게 걸린다면, 이 점에서는 등식 $\displaystyle \frac c{v_1}\sin\theta_1=\frac c{v_2}\sin\theta_2$ 가 성립하게 된다. 여기서 $\displaystyle c$ 는 진공 속에서의 빛의 속력이다. 이것을 굴절의 법칙이라 하고 $\displaystyle \frac c{v_1}$ 를 매질 I에서의 굴절률, $\displaystyle \frac c{v_2}$ 를 매질 II에서의 굴절률이라고 한다.

그림 2. 매질 I과 II 사이에서 빛이 굴절하는 경로와 입사각 θ₁, 굴절각 θ₂

(논제3) “빛은 시간을 최소화하는 경로로 진행한다”라는 사실을 이용하여 빛의 전반사에 대한 임계각을 구해보자. 매질 I과 매질 II가 그림 6과 같이 놓여 있다고 하자. 매질 I에서의 빛의 속력을 $\displaystyle v_1$ , 매질 II에서의 빛의 속력을 $\displaystyle v_2$ 라고 하자. 여기서 $\displaystyle v_1>v_2$ 이다. 굴절각이 90°일 때의 입사각을 임계각이라 하며, 만약 입사각이 임계각보다 크면 빛은 그 경계면을 넘어가지 못하고 모두 반사하게 된다. 이러한 반사를 전반사라고 한다. 이제 매질 II의 한 점 $\displaystyle A(0,-a)$ 에서 출발한 빛이 굴절각이 90°가 되어 점 $\displaystyle B(b,0)$ 에 도달하게 하려면 어떤 각도로 빛을 발사해야 하는가의 문제를 생각해 보자. 점 $\displaystyle A$ 에서 입사각 $\displaystyle \theta$ 로 발사된 빛이 두 매질의 경계면 위의 어떤 점을 거쳐 경계면을 따라 (더 정확하게는 매질 I 쪽의 경계면을 따라) 점 $\displaystyle B$ 에 도달한다. 경계면의 임의의 점을 $\displaystyle X(x,0)$ 이라 하면, $\displaystyle AX$ 의 길이는 $\displaystyle \sqrt{a^2+x^2}$ 이고 $\displaystyle XB$ 의 길이는 $\displaystyle b-x$ 이다. 또한 매질 II에서 빛의 속력은 $\displaystyle v_2$ 이고, 경계면을 따라갈 때에는 매질 I을 지나기 때문에, 빛의 속력은 $\displaystyle v_1$ 이다. 점 $\displaystyle A$ 에서 출발한 빛이 경계면의 임의의 점 $\displaystyle X$ 에 도달한 후 경계면을 따라 점 $\displaystyle B$ 에 도착할 때 걸리는 시간을 $\displaystyle x$ 의 함수로 표현하여라. 그리고 이 시간이 최소가 될 때의 입사각을 $\displaystyle \theta_0$ 라고 하자. 이 때 $\displaystyle \sin\theta_0$ 의 값을 각 매질에서의 빛의 속력 $\displaystyle v_1$ , $\displaystyle v_2$ 를 사용하여 나타내어라.

그림 6. 매질 II의 A(0,-a)에서 X(x,0)를 거쳐 경계면을 따라 B(b,0)에 이르는 경로

해설강의 준비중

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(논제 3)점 $\displaystyle A$ 에서 출발한 빛이 점 $\displaystyle X$ 를 경유하여 점 $\displaystyle B$ 에 도달할 때까지 걸리는 시간은 $\displaystyle x$ 에 관한 함수이므로, 이 값을 $\displaystyle f(x)$ 라고 하자. 편의상 (점 $\displaystyle A$ 에서 점 $\displaystyle X$ 까지 진행하는데 걸리는 시간)을 $\displaystyle T_1$ , (점 $\displaystyle X$ 에서 점 $\displaystyle B$ 까지 진행하는데 걸리는 시간)을 $\displaystyle T_2$ 라 두자. $\displaystyle AX$ 의 길이는 $\displaystyle \sqrt{a^2+x^2}$ 이고, $\displaystyle XB$ 의 길이는 $\displaystyle b-x$ 이므로, $\displaystyle f(x)=T_1+T_2=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_2}+\frac{b-x}{v_1}\quad(0\le x\le b)$ 이다.

대학 답안 그림 5. A에서 X까지 속력 v₂, X에서 B까지 속력 v₁로 진행하는 경로

$\displaystyle f(x)$ 의 최소값을 구하기 위해 $\displaystyle f(x)$ 를 $\displaystyle x$ 에 대해서 미분하자. 무리함수와 합성함수의 미분법에 의해 $\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\frac1{2v_2}(a^2+x^2)^{-\frac12}(a^2+x^2)^{\prime}-\frac1{v_1}\\&=\frac{x}{v_2\sqrt{a^2+x^2}}-\frac1{v_1}\end{aligned}$ 가 된다. $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=x_0$ 에서 최소값을 가진다면, $\displaystyle f^{\prime}(x_0)=0$ 이 되어Caution. 최댓값·최솟값을 구할 때는 주어진 범위 밖의 값을 제외해야 한다: 도함수가 0이 되는 값은 $\displaystyle x_0=\frac{av_2}{\sqrt{v_1^2-v_2^2}}$ 이지만, 이를 최소점으로 삼으려면 $\displaystyle x_0\le b$ 여야 한다. $\displaystyle b<x_0$ 이면 $\displaystyle [0,b]$ 에서 시간이 계속 감소하므로 최솟값은 $\displaystyle x=b$ 에서 얻는다. 따라서 대학 답안의 $\displaystyle \sin\theta_0=\frac{v_2}{v_1}$ 은 $\displaystyle x_0\le b$ 일 때의 결론이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \frac{x_0}{v_2\sqrt{a^2+x_0^2}}=\frac1{v_1}$ 이 성립한다.한편 $\displaystyle \sin\theta_0=\frac{x_0}{\sqrt{a^2+x_0^2}}$ 이므로, 위의 등식에 따르면 $\displaystyle \sin\theta_0=\frac{v_2}{v_1}$ 이다.

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