자연계열 1번

종단속력에 다다르게 되면 자동차는 일정한 속도로 운동하여 가속도가 0이 되므로 자동차에 가해지는 힘이 0이 된다. 즉$\displaystyle F-kv^2=0$로부터 종단속력은 $\displaystyle v=\sqrt{\frac Fk}$가 된다.

또, 시간에 따른 속력함수 $\displaystyle v(t)$에서 $\displaystyle t\to\infty$인 극한으로부터 종단속도를 구할 수 있다.$\displaystyle v(t)=\sqrt{\frac Fk}\frac{e^{\sqrt{Fk}t/m}-e^{-\sqrt{Fk}t/m}}{e^{\sqrt{Fk}t/m}+e^{-\sqrt{Fk}t/m}}=\sqrt{\frac Fk}\frac{1-e^{-2\sqrt{Fk}t/m}}{1+e^{-2\sqrt{Fk}t/m}}$에서 $\displaystyle t\to\infty$일 때에 $\displaystyle e^{-2\sqrt{Fk}t/m}\to0$이므로 $\displaystyle v(t)\to\sqrt{\frac Fk}$이다. 따라서 종단속력은 $\displaystyle \sqrt{\frac Fk}$가 된다. 따라서 두 가지 방법의 결과는 같다.

종단속력의 99%에 도달하는데 걸리는 시간은 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle v(t)=\sqrt{\frac Fk}\frac{e^{\sqrt{Fk}t/m}-e^{-\sqrt{Fk}t/m}}{e^{\sqrt{Fk}t/m}+e^{-\sqrt{Fk}t/m}}=0.99\sqrt{\frac Fk}$즉, $\displaystyle \frac{e^{\sqrt{Fk}t/m}-e^{-\sqrt{Fk}t/m}}{e^{\sqrt{Fk}t/m}+e^{-\sqrt{Fk}t/m}}=0.99$이고, $\displaystyle e^{2\sqrt{Fk}t/m}=199$가 되어, 이것을 $\displaystyle t$에 대해 풀면$\displaystyle t=\frac m{2\sqrt{Fk}}\ln199$이다.