자연계열 3번

(가)빗방울이 지상 수 킬로미터에서 떨어질 때, 공기의 마찰력이 없다면 굉장히 큰 낙하속도를 갖게 될 것이다. 예를 들어 공기에 의한 마찰력이 없다면 5 km 상공에서 떨어지는 빗방울이 지면에 도달할 때의 속력은 약 313 m/s 가 된다. 이것은 거의 음속에 가까운 속도로, 작은 빗방울이지만 큰 파괴력을 갖게 된다. 그렇지만 다행스럽게도 대기권에는 공기에 의한 마찰력이 존재하므로 이런 문제가 생기지 않는다. 실제로 공기 중에서 운동하는 빗방울의 경우 마찰력은 근사적으로 속도에 비례하는 것으로 알려져 있다. 그러므로 빗방울에 작용하는 전체 힘은 [그림 1]과 같이 중력과 마찰력의 합 $\displaystyle mg-bv$가 된다. 여기서 $\displaystyle m$은 빗방울의 질량, $\displaystyle g$는 중력가속도의 크기이고, $\displaystyle b\,(b>0)$는 마찰력의 크기를 결정하는 비례상수로 물체 형태나 공기의 밀도 등에 의해 결정된다. 처음 정지 상태에 있던 빗방울이 떨어지면서 빗방울의 속력이 점점 커져 마찰력이 증가하다가 마찰력과 중력의 크기가 같아지면 빗방울에 작용하는 전체 힘이 0 이 된다. 이때 빗방울의 가속도가 0 이 되므로 더 이상 속도가 변하지 않게 되는데, 이때의 속도를 종단속도라고 한다. 그리고 그 크기인 종단속력을 $\displaystyle v_T$라 하면 $\displaystyle v_T=\frac{mg}b$가 된다는 것을 알 수 있다.

한편, 뉴턴의 운동법칙을 이용하여 시간 $\displaystyle t$에서 빗방울의 속력 $\displaystyle v(t)$를 구하면$\displaystyle v(t)=\frac{mg}b\left(1-e^{-\frac bm t}\right)$이 된다. $\displaystyle v(t)$는 $\displaystyle t$가 커짐에 따라 $\displaystyle \frac{mg}b$로 수렴하고, 이 값은 위에서 구한 종단속력과 일치한다. 여기서 상수 $\displaystyle e$는 $\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$으로 정의되는 무리수이며 근사적으로 2.7182… 의 값을 갖는다. 또한, 함수 $\displaystyle y=e^x$는 $\displaystyle x$가 무한대로 커짐에 따라 $\displaystyle y$도 무한대로 증가하고, 역함수는 $\displaystyle x=\log_e y$가 되며 이를 흔히 $\displaystyle x=\ln y$로 표시하기도 한다.

(나)자동차는 엔진에 의한 추진력으로 움직인다. 자동차에 작용하는 추진력 $\displaystyle F$가 일정한 경우를 생각해 보자. 공기의 마찰 등에 의한 저항력이 없다면, 자동차의 속도는 무한히 증가할 것이다. 그러나 움직이는 자동차에는 [그림 2]와 같이 진행방향의 반대방향으로 저항력이 작용한다. 일반적으로 저항력의 크기는 자동차의 속력이 커질수록 증가하는데, 여기서는 저항력의 크기가 속력의 제곱에 비례한다고 가정하자. 그러면 적당한 비례상수 $\displaystyle k\,(k>0)$를 사용하여 저항력의 크기를 $\displaystyle kv^2$으로 표현할 수 있다. $\displaystyle k$는 자동차의 모양, 공기의 밀도 등에 따라 달라진다. 이 때 자동차에 작용하는 전체 힘은$\displaystyle F-kv^2$이다. 자동차가 정지 상태로부터 출발하여 일정한 추진력 $\displaystyle F$로 움직일 때에, 뉴턴의 운동법칙을 이용하여 시간 $\displaystyle t$에서의 속력 $\displaystyle v(t)$를 구해보면$\displaystyle v(t)=\sqrt{\frac Fk}\frac{e^u-e^{-u}}{e^u+e^{-u}},\qquad u=\frac{\sqrt{Fk}}m t$가 된다. 여기에서 $\displaystyle m$은 자동차의 질량이다.

(다)자동차가 추진력을 얻기 위해서는 연료를 사용해야 하고, 단위시간당 사용하는 연료의 양이 증가할수록 더 큰 추진력을 얻게 된다. 그리고 추진력을 증가시키기 위해서 가속페달을 밟으면 연료 분사구에서는 단위시간당 더 많은 연료를 분사하게 된다. 자동차의 단위시간당 연료 사용량을 $\displaystyle \alpha$라 할 때, 자동차의 추진력은 $\displaystyle \alpha$의 함수 $\displaystyle F(\alpha)$로 표현된다. 예를 들어 어떤 자동차의 추진력 $\displaystyle F(\alpha)$가$\displaystyle F(\alpha)=F_0\sqrt{\alpha-\alpha_0}\quad(\alpha\geqq\alpha_0)$으로 주어진다고 하자. 여기에서 $\displaystyle F_0\,(F_0>0)$은 엔진의 성능에 관련된 비례상수이고, $\displaystyle \alpha_0$은 추진력을 얻기 위한 최소한의 단위시간당 연료 사용량이다. 이 식에는 다음과 같은 두 가지 특성이 반영되어 있다. 첫째로 추진력을 얻기 위해서는 $\displaystyle \alpha$가 $\displaystyle \alpha_0$보다 커야 한다. $\displaystyle \alpha$가 $\displaystyle \alpha_0$보다 작은 경우에는 엔진 자체에서 소모되는 에너지 때문에 추진력을 얻을 수 없기 때문이다. 둘째로 $\displaystyle \alpha$가 커지게 되면 엔진의 효율이 나빠져서 추진력의 증가 정도가 둔화된다.

(라)자동차를 어떤 속력으로 운전하는 것이 가장 경제적일까? 경제성을 결정하는 요인이 여러 가지 있겠지만, 여기서는 연료비와 인건비 두 가지만을 생각해 보기로 한다. 먼저 연료비의 측면에서, 일정 거리를 가는 동안 사용되는 연료의 양이 주행속력에 따라 어떻게 달라지는가를 살펴보자. 예를 들어 고속도로에서 일정한 주행속력으로 운전하는 경우를 생각해 보자. 가속페달을 약하게 밟아 주행속력을 작게 하면, 단위시간당 사용하는 연료의 양은 줄어들지만, 주행시간이 길어지고, 무엇보다도 속력이 아주 작은 상태에서는 상당 비율의 연료를 엔진 자체에서 소모하게 되어 전체적인 연료 사용량은 오히려 늘어나게 된다. 반대로 속력이 적정한 값보다 크면, 속력이 증가할수록 주행시간은 짧아지지만 더 커진 저항력 때문에 소모되는 연료의 양이 많아지고, 전체적인 연료 사용량도 증가하게 된다. 이것을 감안하면, 같은 거리를 이동하는 동안 전체 연료 사용량을 최소화하는 속력을 기대할 수 있다. 다음으로 주행시간에 따른 인건비를 추가하여 생각해 보자. 예를 들면, 운전기사를 고용하여 일정한 거리를 주행한다고 하자. 주행시간이 길어지면 운전기사에게 지급하는 인건비가 늘어나고, 짧아지면 인건비는 줄어든다. 경제적인 주행속력을 구하기 위해서는 지금까지 언급한 연료비와 인건비를 합한 전체 비용을 고려하여야 한다.

(마)자연과학과 공학에서는 다양한 형태의 최대, 최소문제가 등장하는데, 이 문제를 해결하는데 있어 미분이 매우 유용한 도구가 될 수 있다. 미분 가능한 함수의 최대, 최소는 함수의 증감과 관련이 있고, 이를 미분계수의 부호로 설명할 수 있기 때문이다. 따라서 주어진 함수를 미분하는 기법(다양한 함수의 도함수와 곱, 몫, 합성함수의 미분법 등)이 중요하다. 예를 들어 $\displaystyle p$가 유리수일 때$\displaystyle \frac d{dx}(x^p)=px^{p-1}\quad(x>0)$이고, $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$가 미분 가능한 함수일 때,$\displaystyle \frac d{dx}[f(x)g(x)]=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x),$$\displaystyle \frac d{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{[g(x)]^2}\quad(g(x)\ne0)$이다.