자연계열 3번

단위부피당 연료가격이 $\displaystyle c_1$이고 총 연료사용량이 $\displaystyle Q$이므로, 연료비용은 $\displaystyle c_1Q=c_1\alpha L/v$이다. 단위시간당 인건비가 $\displaystyle c_2$이고, 걸리는 시간이 $\displaystyle L/v$이므로, 운전기사 인건비는 $\displaystyle c_2L/v$ 이다. $\displaystyle v=\sqrt{\frac{F_0}k}(\alpha-\alpha_0)^{1/4}$이므로 총 비용 $\displaystyle P$는$\displaystyle P=c_1\frac{\alpha L}v+c_2\frac Lv=L\frac{c_1\alpha+c_2}v=L\sqrt{\frac k{F_0}}\frac{c_1\alpha+c_2}{(\alpha-\alpha_0)^{1/4}}$이다. 그 도함수를 구하면,$\displaystyle \frac{dP}{d\alpha}=L\sqrt{\frac k{F_0}}\left[\frac{c_1}{(\alpha-\alpha_0)^{1/4}}-\frac{c_1\alpha+c_2}{4(\alpha-\alpha_0)^{5/4}}\right]=L\sqrt{\frac k{F_0}}\frac{(3c_1\alpha-(4c_1\alpha_0+c_2))}{4(\alpha-\alpha_0)^{5/4}}$이 된다. $\displaystyle \frac{dP}{d\alpha}=0$에서 $\displaystyle \alpha=\frac43\alpha_0+\frac{c_2}{3c_1}$이고, 이 값을 전후로 $\displaystyle \frac{dP}{d\alpha}$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $\displaystyle P$는 $\displaystyle \alpha=\frac43\alpha_0+\frac{c_2}{3c_1}$일 때에 최소가 된다. 이때의 속력을 구하면, $\displaystyle v=\sqrt{\frac{F_0}k}\frac1{3^{1/4}}\left(\alpha_0+\frac{c_2}{c_1}\right)^{1/4}$이다.

(풀이가 이어짐) $\displaystyle c_2$는 양수이므로 이 속력은 위에서 구한 $\displaystyle v=\sqrt{\frac{F_0}k}\left(\frac{\alpha_0}3\right)^{1/4}$보다 항상 크다.

먼저 주행속력이 $\displaystyle v=\sqrt{\frac{F_0}k}\left(\frac{\alpha_0}3\right)^{1/4}$보다 작아지는 경우를 생각해보자. 전체 연료 사용량은 $\displaystyle v=\sqrt{\frac{F_0}k}\left(\frac{\alpha_0}3\right)^{1/4}$일 때에 최소이므로, 주행속력이 이 값보다 작아지면 연료비는 증가하고, 주행시간이 늘어나 인건비도 증가한다. 따라서 주행속력이 $\displaystyle v=\sqrt{\frac{F_0}k}\left(\frac{\alpha_0}3\right)^{1/4}$보다 작아지면, 전체 비용은 항상 증가하게 된다. 즉, 비용을 최소로 하는 속력은 $\displaystyle v=\sqrt{\frac{F_0}k}\left(\frac{\alpha_0}3\right)^{1/4}$보다 작을 수 없다.

둘째로, 주행속력이 $\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{F_0}k}\left(\frac{\alpha_0}3\right)^{1/4}$보다 커지는 경우를 생각해보자. 전체 연료 사용량은 $\displaystyle v=\sqrt{\frac{F_0}k}\left(\frac{\alpha_0}3\right)^{1/4}$일 때에 최소이므로, 속력이 증가하면 연료사용량이 늘어난다. 반면에 걸리는 시간이 줄어들어 인건비는 감소한다. $\displaystyle v=\sqrt{\frac{F_0}k}\left(\frac{\alpha_0}3\right)^{1/4}$ 근처에서 속력이 $\displaystyle \Delta v$만큼 조금 증가하는 경우를 살펴보자. 이 때 비용의 증가정도는 미분계수로 기술된다. 최소점에서 벗어나는 것이므로, 속력에 대한 연료비 미분계수는 0이 된다. 반면에 인건비는 속력에 반비례하는 함수이므로, 그 점에서 속력에 대한 인건비 미분계수는 음의 부호를 가진다. 즉, 속력이 최소점보다 증가할 때, 인건비의 감소폭이 연료비의 증가폭보다 크게 된다. 따라서 인건비까지 고려한 전체 비용을 최소화하는 주행속력은 연료사용량, 즉 연료비만 고려했을 때의 주행속력보다 항상 커야만 한다.