자연계열 2번

단위시간당 사용되는 연료의 양이 $\displaystyle \alpha$이고, 일정한 속력 $\displaystyle v$로 이동하므로 걸리는 시간이 $\displaystyle L/v$가 되어,$\displaystyle Q=\alpha L/v$이다. [논제 1]에서 구한 종단속력이 $\displaystyle v=\sqrt{\frac{F(\alpha)}k}$이고 $\displaystyle F(\alpha)=F_0\sqrt{\alpha-\alpha_0}$이므로, $\displaystyle v=\sqrt{\frac{F(\alpha)}k}=\sqrt{\frac{F_0}k}(\alpha-\alpha_0)^{1/4}$이다. 이것을 위 식에 대입하면$\displaystyle Q=L\sqrt{\frac k{F_0}}\frac\alpha{(\alpha-\alpha_0)^{1/4}}$이다. $\displaystyle Q$를 $\displaystyle \alpha$에 대해서 미분하면,$\displaystyle \frac{dQ}{d\alpha}=L\sqrt{\frac k{F_0}}\left[\frac1{(\alpha-\alpha_0)^{1/4}}-\frac\alpha{4(\alpha-\alpha_0)^{5/4}}\right]=L\sqrt{\frac k{F_0}}\frac{3\alpha-4\alpha_0}{4(\alpha-\alpha_0)^{5/4}}$이 된다. $\displaystyle \frac{dQ}{d\alpha}=0$에서 $\displaystyle \alpha=\frac43\alpha_0$이고, 이 값을 전후로 $\displaystyle \frac{dQ}{d\alpha}$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로, $\displaystyle Q$는 $\displaystyle \alpha=\frac43\alpha_0$일 때에 최소가 된다. $\displaystyle \alpha=\frac43\alpha_0$일 때의 속력을 구하면 $\displaystyle v=\sqrt{\frac{F_0}k}\left(\frac{\alpha_0}3\right)^{1/4}$이다.