자연계열 2번

(2) [논제 2] $\displaystyle 0<x<a$일 때 $\displaystyle U(x)$의 도함수를 구하면$\displaystyle U^{\prime}(x)=\frac{GM_1m}{x^2}-\frac{GM_2m}{(a-x)^2}$이므로 $\displaystyle U^{\prime}(x)=0$인 점 $\displaystyle x$는 방정식 $\displaystyle \frac{GM_1m}{x^2}=\frac{GM_2m}{(a-x)^2}$을 만족한다.$\displaystyle M_2=\frac1{81}M_1$이므로, $\displaystyle \frac{(a-x)^2}{x^2}=\frac{M_2}{M_1}=\frac1{81}$이다. $\displaystyle 0<x<a$이므로 $\displaystyle \frac{a-x}{x}=\frac19$이 성립하는데, 이 방정식을 풀면 $\displaystyle x=\frac{9a}{10}$이다.$\displaystyle 0<x<\frac{9a}{10}$이면 $\displaystyle U^{\prime}(x)>0$이고, $\displaystyle \frac{9a}{10}<x<a$이면 $\displaystyle U^{\prime}(x)<0$이므로, $\displaystyle U(x)$는 $\displaystyle x=\frac{9a}{10}$일 때 최대값을 가진다.