자연계열 2번

(가) 어떤 구형의 행성에서 행성 표면에 있는 질량 $\displaystyle m$인 물체를 높이 $\displaystyle h$만큼 올리기 위해서 얼마만큼의 에너지가 필요한가를 생각해보자. 행성 표면에서의 중력가속도를 $\displaystyle g$라고 하면 $\displaystyle mg$만큼의 중력이 작용한다. 따라서, 외부에서 $\displaystyle mg$만큼의 힘을 가해서 높이 $\displaystyle h$만큼 옮기면 되므로, $\displaystyle mgh$의 에너지가 필요하게 된다. 이 때 필요한 에너지를 ‘위치에너지’라고 한다. 그런데 이 식은 $\displaystyle h$가 행성의 반지름에 비해서 아주 작은 경우에만, 즉, 행성 표면 근처에서만 성립하는 식이다. 일반적인 경우에, 즉 $\displaystyle h$가 더욱 크게 되면 물체가 갖는 위치에너지는 $\displaystyle U(h)=G\frac{Mm}{r_0}-G\frac{Mm}{r_0+h}$로 주어진다고 한다. 여기에서 $\displaystyle r_0$는 행성의 반지름이고 $\displaystyle M$은 행성의 질량이다. 그리고 $\displaystyle G$는 만유인력 상수로 그 값은 대략 $\displaystyle 6.67\times10^{-11}\,\mathrm{Nm^2/kg^2}$이 된다. 이 식을 다시 쓰면 $\displaystyle U=G\frac{Mmh}{r_0(r_0+h)}=m\frac{GM}{r_0(r_0+h)}h$가 된다. 이 식을 위에서 주어진 행성 표면 근처에서의 위치에너지 $\displaystyle mgh$와 비교해 보면, $\displaystyle h$가 행성의 반지름 $\displaystyle r_0$에 비해서 충분히 작은 경우에는 $\displaystyle g=\frac{GM}{r_0^2}$으로 근사시킬 수 있다.

(나) 우주선이 지구에서 달까지 여행하는 경우에 특정한 지점에서의 우주선의 위치에너지를 생각해 보자. 우주선이 지구의 대기권을 충분히 벗어났을 경우에는 지구의 중력뿐만 아니라 달의 중력의 영향으로 지구 중심으로부터 $\displaystyle x$만큼 떨어진 지점에서의 우주선의 위치에너지는 $\displaystyle U(x)=-G\frac{M_1m}{x}-G\frac{M_2m}{a-x}$으로 주어진다. 여기에서 $\displaystyle M_1$은 지구의 질량, $\displaystyle M_2$는 달의 질량, $\displaystyle a$는 지구의 중심에서 달의 중심까지의 거리이다.달의 질량은 지구의 질량의 $\displaystyle \frac1{81}$이고, 달의 반지름은 대략 지구의 반지름의 $\displaystyle \frac14$임이 알려져 있다. (지구와 달은 모두 구형이라고 가정한다.)

(다) 우리 몸속에서 펌프 역할을 하고 있는 심장은 보통 하루에 8만 - 12만 번을 뛰면서 $\displaystyle 8000\,\mathrm{l}$의 혈액을 심장 동맥을 통해 온 몸으로 내보낸다. 이 때 동맥을 통해서 모세 혈관으로 보내지는 혈액은 산소와 영양분을 많이 포함하고 있으며, 이 혈액은 모세 혈관을 통과하면서 산소와 영양분을 각 세포에게 공급해주고 세포에 축적된 노폐물을 받아서 다시 정맥으로 흘러들어간다. 모세 혈관은 동맥과 정맥을 이어 주는 매우 가는 혈관으로 평균 반지름은 대략 $\displaystyle 4\times10^{-4}\,\mathrm{cm}$로 알려져 있으며, 우리 몸 구석구석에 그물망처럼 연결되어 있다.

(라) 혈관 속을 흐르는 혈액의 평균 속력은 혈압이 일정할 때 혈관의 반지름의 제곱에 비례한다고 한다. 이는 혈관의 반지름이 작을수록 혈관 벽의 마찰력이 크게 작용하기 때문이다. 따라서 혈액이 모세 혈관을 통과할 때에는 동맥에 비해서 혈류의 속력이 크게 떨어지게 되는데, 이 때 혈액과 조직 세포 사이에 물질 교환이 일어나게 된다 ([그림 3], [그림 4] 참조). 보통 모세 혈관을 통과하는 혈류의 평균 속력은 대략 1초당 $\displaystyle 5\times10^{-2}\,\mathrm{cm/sec}$정도로 알려져 있다.

(마) [그림 4]와 같이 혈액이 모세 혈관을 통과할 때에 혈액 속에 있는 산소와 조직 세포에 함유된 이산화탄소와의 교환이 일어나는데 이를 내호흡이라고 한다. 이 기체 교환은 두 기체의 분압차 및 혈액과 모세 혈관과의 접촉면적에 비례한다. 내호흡에서 일어나는 기체 교환은, 정상적인 대기 상태에서 건강한 성인의 경우, 혈액과 모세 혈관의 접촉 면적 $\displaystyle 1\,\mathrm{cm^2}$에서 1초당 $\displaystyle 7.5\times10^{-16}\,\mathrm{ml/cm^2\cdot sec}$의 산소가 조직 세포로 운반된다.