자연계열 2번

[논제 2](1) 마루의 좌표가 $\displaystyle (x(t),A)$이므로 $\displaystyle A=A\sin(kx(t)-\omega t)$가 성립한다. 양변을 $\displaystyle A$로 나누면 $\displaystyle 1=\sin(kx(t)-\omega t)$이고, 따라서 $\displaystyle kx(t)-\omega t=\frac\pi2+2n\pi$ ($\displaystyle n$은 정수)가 성립한다. 즉 마루의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle x(t)$는 $\displaystyle x(t)=\frac\omega k t+\frac1k\left(\frac\pi2+2n\pi\right)$ ($\displaystyle n$은 정수)가 된다.그리고 양변을 시간 $\displaystyle t$로 미분하면 $\displaystyle \frac d{dt}x(t)=\frac wk$이 된다. 즉 마루의 진행 속력은 $\displaystyle \frac\omega k$이다.

(2) $\displaystyle y$의 변위 $\displaystyle \Delta y$는 $\displaystyle \Delta y=y_2-y_1=-A[\sin\omega(t+\Delta t)-\sin\omega t]$가 된다. 주어진 삼각함수의 공식을 이용하면$\displaystyle \Delta y=-2A\cos\frac{\omega(t+\Delta t)+\omega t}2\sin\frac{\omega(t+\Delta t)-\omega t}2=-2A\cos\omega\left(t+\frac{\Delta t}2\right)\sin w\frac{\Delta t}2$이 된다. 양변을 $\displaystyle \Delta t$로 나누면 평균속력은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta t}=-2A\frac{\cos\omega\left(t+\frac{\Delta t}2\right)\sin\omega\frac{\Delta t}2}{\Delta t}=-2A\cos\omega\left(t+\frac{\Delta t}2\right)\frac{\sin\omega\frac{\Delta t}2}{\Delta t}$평균속력에 극한 $\displaystyle \lim_{\Delta t\to0}$을 취하면 순간속력을 다음과 같이 얻을 수 있다.Comment. 대학 답안에서 구한 $\displaystyle \Delta y/\Delta t$와 $\displaystyle dy/dt$는 각각 평균속도와 순간속도이다. 순간속력은 $\displaystyle |dy/dt|$이고, 평균속력은 이동 거리를 걸린 시간으로 나눈 값이므로 운동 방향이 바뀌는 구간에서는 변위로 계산할 수 없다. 그러나 원문의 ‘속력’이라는 표현은 수록 원칙에 따라 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta y}{\Delta t}&=\lim_{\Delta t\to0}-2A\cos\omega\left(t+\frac{\Delta t}2\right)\frac{\sin\omega\frac\Delta t}{\Delta t}\\&=\lim_{\Delta t\to0}\left(-A\omega\cos\omega\left(t+\frac{\Delta t}2\right)\frac{\sin\omega\frac{\Delta t}2}{\omega\frac{\Delta t}2}\right)\\&=-\omega A\cos\omega t\end{aligned}$Correction. 각진동수 기호 $\displaystyle \omega$를 일부 식에서 $\displaystyle w$로 적었다. 또한 (2-2)의 극한식에서 사인 함수 안의 $\displaystyle \omega\frac{\Delta}{t}$는 $\displaystyle \omega\frac{\Delta t}{2}$로 읽어야 앞뒤 계산이 이어진다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.여기서 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$이 사용되었다.