인하대 2009학년도 수시 2-1 자연계열 2번 해설

■ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 일반적으로 사람의 체세포에는 양쪽 부모로부터 22개의 상염색체와 하나의 성염색체를 물려받아 이루어진 23쌍의 염색체가 들어있다. 이 중 성염색체는 X 염색체와 Y 염색체인데 남자는 $\displaystyle XY$ , 여자는 $\displaystyle XX$ 로 이루어져 있다. 성염색체에는 남성과 여성을 결정하는데 필요한 유전자 외에도 다양한 형질을 결정하는 여러 가지 유전자들이 존재한다고 알려져 있다. 색맹 유전자가 그 대표적인 예인데, 이 형질을 결정하는 유전자는 X 염색체에 있으며 정상인 대립 유전자에 대해 열성으로 작용한다. 즉, 색맹을 유발하는 유전자를 가진 염색체를 $\displaystyle X^{\prime}$ 이라고 하면, 염색체 조성이 $\displaystyle XY$ 인 남자와 $\displaystyle XX$ 인 여자에게는 색맹의 형질이 나타나지 않고, $\displaystyle X^{\prime}Y$ 인 남자와 $\displaystyle X^{\prime}X^{\prime}$ 인 여자에게는 색맹의 형질이 나타난다. 그리고 여자의 경우에는 $\displaystyle X^{\prime}X$ 의 염색체 조성을 가질 수 있다. 색맹 유전자가 정상인 유전자에 대해 열성이기 때문에 이 경우에는 정상으로 나타나지만, 색맹 유전자를 다음 세대로 전달할 수 있기 때문에 보인자라고 한다. 또한, 특정 집단 내에 색맹 유전자가 나타날 확률이 $\displaystyle p$ 라면 정상인 대립 유전자가 나타날 확률은 $\displaystyle 1-p$ 이다.

[나] 수면에 돌을 던지면 파동이 생기는 것을 볼 수 있다. 파동은 흔히 사인 곡선의 모양을 이루므로 사인파라고도 한다. [그림 1]은 오른쪽으로 진행하는 파동에서 시각 $\displaystyle t_1,t_2,t_3$ 에 따른 파형을 나타낸 것이다. 파동에서 변위가 가장 높은 곳을 마루라 하고, 가장 낮은 곳을 골이라고 한다. 이웃한 마루와 마루 또는 골과 골 사이의 거리를 파장이라고 한다. 또, 평형상태를 기준으로 마루의 높이 또는 골의 깊이를 진폭이라고 한다. 흔히, 위치 $\displaystyle x$ 에서 시각이 $\displaystyle t$ 일 때 파동의 변위 $\displaystyle y$ 는 $\displaystyle y=A\sin(kx-\omega t)$ 로 기술된다. 여기에서 $\displaystyle A,k,\omega$ 는 양의 상수이다.

[다] 연못에 생긴 수면파에 의해 수면 위의 나뭇잎이 위 아래로 움직이는 현상을 관찰할 수 있다. 이것은 진행 중인 파동을 수면 위의 한 점에서 관찰했을 때, [그림 2]와 같이 파동이 평형 위치 ( $\displaystyle y=0$ )를 중심으로 위 아래로 진동하기 때문이다. 예를 들면 $\displaystyle x=0$ 인 점에서, 시간의 변화에 따른 수면파의 진동은 아래 [그림 3]과 같이 표현할 수 있다.

[라] 마찰이 없는 빗면에 놓인 물체는 중력에 의해 미끄러져 내린다. 빗면에 놓인 질량 $\displaystyle m$ 인 물체에는 중력 $\displaystyle mg$ 가 작용하는데, [그림 4]와 같이 빗면에서는 물체에 작용하는 중력이 빗면에 수직인 성분 $\displaystyle mg\sin\theta$ 와 수평인 성분 $\displaystyle mg\cos\theta$ 로 분해된다. 이때 빗면에 수직인 성분은 수직항력과 상쇄되어 물체의 운동에 영향을 주지 못하고, 수평인 성분 $\displaystyle mg\cos\theta$ 만이 물체에 작용하는 힘이 된다. 따라서 마찰력이 없을 경우에 빗면에서 미끄러져 내리는 물체는 가속도의 크기가 $\displaystyle g\cos\theta$ 인 등가속도 운동을 하게 된다. 그리고 초기위치 $\displaystyle x_0$ 에서 초기속도 $\displaystyle v_0$ 로 출발한 물체가 가속도 $\displaystyle a$ 인 등가속도 운동을 하면 $\displaystyle t$ 초 후의 물체의 위치 $\displaystyle x(t)$ 는 $\displaystyle x(t)=x_0+v_0t+\frac12at^2$ 이 된다.

높이 h인 A에서 빗면 AC를 거쳐 수평면 CD로 이동하는 물체 — [그림 4]

【논제 2】제시문 [나]와 [다]에 주어진 내용을 바탕으로 다음을 기술하시오.

(1) 제시문 [나]에서와 같이 어떤 파동의 변위를 $\displaystyle y=A\sin(kx-\omega t)$ 라 하자. 시각 $\displaystyle t$ 에서 마루의 좌표를 $\displaystyle (x(t),A)$ 라고 할 때, $\displaystyle x(t)$ 를 $\displaystyle k$ 와 $\displaystyle \omega$ 를 포함하는 식으로 표현하고, 또 마루의 진행 속력을 구하시오. (15점)

(2) 제시문 [다]의 [그림 3]에서 $\displaystyle \Delta y=y_2-y_1$ 이라 하자. 삼각함수의 공식 $\displaystyle \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}2\sin\frac{A-B}2$ 를 이용하여 제시문 [다]의 [그림 2]에서 폐구간 $\displaystyle [t,t+\Delta t]$ 에서 나뭇잎의 평균속력 $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta t}$ 와 시각 $\displaystyle t$ 에서의 순간속력 $\displaystyle \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta y}{\Delta t}$ 를 구하시오. (15점)

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[논제 2](1) 마루의 좌표가 $\displaystyle (x(t),A)$ 이므로 $\displaystyle A=A\sin(kx(t)-\omega t)$ 가 성립한다. 양변을 $\displaystyle A$ 로 나누면 $\displaystyle 1=\sin(kx(t)-\omega t)$ 이고, 따라서 $\displaystyle kx(t)-\omega t=\frac\pi2+2n\pi$ ( $\displaystyle n$ 은 정수)가 성립한다. 즉 마루의 $\displaystyle x$ 좌표 $\displaystyle x(t)$ 는 $\displaystyle x(t)=\frac\omega k t+\frac1k\left(\frac\pi2+2n\pi\right)$ ( $\displaystyle n$ 은 정수)가 된다.그리고 양변을 시간 $\displaystyle t$ 로 미분하면 $\displaystyle \frac d{dt}x(t)=\frac wk$ 이 된다. 즉 마루의 진행 속력은 $\displaystyle \frac\omega k$ 이다.Correction. 미분식 $\displaystyle \frac{d}{dt}x(t)=\frac{w}{k}$ 의 $\displaystyle w$ 는 각진동수 $\displaystyle \omega$ 의 오기이다. 뒤에 적힌 마루의 진행 속력 $\displaystyle \frac{\omega}{k}$ 는 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) $\displaystyle y$ 의 변위 $\displaystyle \Delta y$ 는 $\displaystyle \Delta y=y_2-y_1=-A[\sin\omega(t+\Delta t)-\sin\omega t]$ 가 된다. 주어진 삼각함수의 공식을 이용하면 $\displaystyle \Delta y=-2A\cos\frac{\omega(t+\Delta t)+\omega t}2\sin\frac{\omega(t+\Delta t)-\omega t}2=-2A\cos\omega\left(t+\frac{\Delta t}2\right)\sin w\frac{\Delta t}2$ 이 된다. 양변을 $\displaystyle \Delta t$ 로 나누면 평균속력은 다음과 같다. $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta t}=-2A\frac{\cos\omega\left(t+\frac{\Delta t}2\right)\sin\omega\frac{\Delta t}2}{\Delta t}=-2A\cos\omega\left(t+\frac{\Delta t}2\right)\frac{\sin\omega\frac{\Delta t}2}{\Delta t}$ Correction. 위 변위 계산의 $\displaystyle \sin w\frac{\Delta t}{2}$ 에서 $\displaystyle w$ 는 각진동수 $\displaystyle \omega$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.평균속력에 극한 $\displaystyle \lim_{\Delta t\to0}$ 을 취하면 순간속력을 다음과 같이 얻을 수 있다.Caution. 속도와 속력을 구별해야 한다: 대학 문제와 답안에서 $\displaystyle \Delta y/\Delta t$ 와 $\displaystyle dy/dt$ 로 구한 값은 각각 평균속도와 순간속도이다. 이 문제에서 $\displaystyle y=-A\sin\omega t$ 이므로 순간속도는 $\displaystyle -A\omega\cos\omega t$ , 순간속력은 $\displaystyle A\omega|\cos\omega t|$ 이다. 평균속력은 이동 거리를 걸린 시간으로 나눈 값이므로, 방향이 바뀌는 구간에서는 변위의 절댓값을 시간으로 나누어도 구할 수 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta y}{\Delta t}&=\lim_{\Delta t\to0}-2A\cos\omega\left(t+\frac{\Delta t}2\right)\frac{\sin\omega\frac\Delta t}{\Delta t}\\&=\lim_{\Delta t\to0}\left(-A\omega\cos\omega\left(t+\frac{\Delta t}2\right)\frac{\sin\omega\frac{\Delta t}2}{\omega\frac{\Delta t}2}\right)\\&=-\omega A\cos\omega t\end{aligned}$ Correction. 극한식 첫 줄에서 사인 함수 안의 $\displaystyle \omega\frac{\Delta}{t}$ 는 $\displaystyle \omega\frac{\Delta t}{2}$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.여기서 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$ 이 사용되었다.

평가 기준
주어진 제시문을 정확하게 이해하고 이를 바탕으로 각 논제에서 요구하는 문제를 파악하는 능력
미분, 적분, 삼각함수, 극한 등의 고교 수학 과정에서 배우는 개념을 정확하게 이해하고 이를 물리, 화학, 생물, 지구과학 등 과학 과목에 활용할 수 있는 능력
제시문에서 논제 해결에 필요한 내용을 선별할 수 있는 능력
제시문에서 주어진 내용을 필요에 따라 일부 변형하여 논제 해결에 이용할 수 있는 능력
논제에서 요구하는 바를 해결하기 위해 제시문에 주어진 내용을 바탕으로 수식을 세우고 계산을 올바르게 수행하여 원하는 해답을 도출할 수 있는 능력
수식이 들어있는 계산 과정이나 증명 과정을 일반 서술문과 함께 올바르게 그리고 논리적으로 기술할 수 있는 능력
자신의 견해를 문장으로 올바르게 전개할 수 있는 능력

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자연계열 2번

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