자연계열 3번

[논제 3](1) 마찰력이 없을 경우에 물체가 빗면을 따라 미끄러져 내려올 때에는 가속도가 $\displaystyle a=g\cos\theta$인 등가속도 운동을 하게 된다. 그리고 빗면의 거리는 $\displaystyle \overline{AC}=\frac h{\cos\theta}$이므로 빗면을 이동하는데 걸리는 시간을 $\displaystyle t_1$이라고 하면, $\displaystyle \frac12at_1^2=\frac h{\cos\theta}$이 성립한다. 즉, $\displaystyle \frac12(g\cos\theta)t_1^2=\frac h{\cos\theta}$이 된다. 따라서$\displaystyle t_1=\sqrt{\frac{2h}g}\frac1{\cos\theta}$이 된다.

(2) 마찰력이 없을 경우에 빗면을 따라 미끄러져 내려오던 물체가 C 점에 도달 했을 때의 속력을 $\displaystyle v$라고 하면, 에너지 보존 법칙으로부터 초기의 위치에너지가 모두 운동에너지로 바뀌었으므로 $\displaystyle mgh=\frac12mv^2$이 성립한다. 이 식으로부터 $\displaystyle v=\sqrt{2gh}$가 된다. (혹은, 앞에서 기술한 등가속도 운동을 이용해서 시간 $\displaystyle t_1$에서의 속력은 $\displaystyle v=at_1$이고 $\displaystyle t_1=\sqrt{\frac{2h}g}\frac1{\cos\theta}$이므로$\displaystyle v=at_1=g\cos\theta\times\sqrt{\frac{2h}g}\frac1{\cos\theta}=\sqrt{2gh}$가 된다.) 점 C 에 도달한 물체는 문제에서 주어진 바와 같이 C 점에 도달할 때의 속력 $\displaystyle v$로 등속도 운동을 하므로 D 점에 도달할 때까지의 시간 $\displaystyle t_2$는$\displaystyle t_2=\frac{\overline{CD}}v=\frac{L-h\tan\theta}v=\frac{L-h\tan\theta}{\sqrt{2gh}}$가 된다. 따라서 물체가 이동하는데 걸리는 총 시간 $\displaystyle t=t_1+t_2$를 $\displaystyle \theta$의 함수 $\displaystyle f(\theta)$로 표현하면$\displaystyle f(\theta)=\frac1{\sqrt{2gh}}\left(\frac{2h}{\cos\theta}+L-h\tan\theta\right)$가 된다. 이때 $\displaystyle f(\theta)$가 최소가 되는 $\displaystyle \theta$값을 구하기 위해서 $\displaystyle f(\theta)$를 $\displaystyle \theta$로 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(\theta)=\sqrt{\frac h{2g}}\left(\frac2{\cos\theta}-\tan\theta\right)^{\prime}=\sqrt{\frac h{2g}}\left(\frac{2\sin\theta-1}{\cos^2\theta}\right)$가 된다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=0$인 $\displaystyle \theta$의 값은 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$이다. $\displaystyle \theta<\frac\pi6$이면 $\displaystyle f(\theta)$가 감소하고 $\displaystyle \frac\pi6<\theta<\frac\pi2$이면 $\displaystyle f(\theta)$가 증가하므로 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$에서 $\displaystyle f(\theta)$가 최소가 됨을 알 수 있다. 따라서 물체가 A 에서 D 까지 이동하는데 최소시간이 걸리는 각도는 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$이다.Caution. 최댓값·최솟값을 구할 때는 주어진 범위 밖의 값을 제외해야 한다: 도함수가 0이 되는 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$을 문제의 조건 $\displaystyle L>h\tan\theta$에 대입하면 $\displaystyle L>\frac h{\sqrt3}$이어야 한다. 이 조건을 만족할 때만 대학 답안의 각도를 선택할 수 있다. $\displaystyle L\le\frac h{\sqrt3}$이면 허용된 각도 범위에서 소요 시간이 계속 감소하고, 끝 각도는 조건에서 제외되므로 최솟값이 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.