자연계열 2번

[논제 2](1) 먼저 두 점 $\displaystyle (0,a),(L,b)$를 지나는 직선의 방정식을 구하면$\displaystyle y=\frac{b-a}Lx+a$이다. 따라서 $\displaystyle x_k$에서 도선의 반지름 $\displaystyle y_k$는 $\displaystyle y_k=\frac{b-a}Lx_k+a$이다. 길이가 $\displaystyle \Delta x$원기둥의 저항 $\displaystyle \Delta R_k$은 제시문 [라]에 주어진 내용에 의해 다음으로 주어진다.$\displaystyle \Delta R_k=\rho\frac{\Delta x}{\pi y_k^2}=\rho\frac{\Delta x}{\pi\left(\frac{b-a}Lx_k+a\right)^2}.$

(2) 전체 길이가 $\displaystyle L$인 도선의 저항 $\displaystyle R$은 제시문 [다]와 [마]에 의해서 다음과 같이 적분을 이용하여 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}R&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\Delta R_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac\rho\pi\left(\frac{b-a}Lx_k+a\right)^{-2}\Delta x\\&=\frac\rho\pi\int_0^L\left(\frac{b-a}Lx+a\right)^{-2}dx=\frac\rho\pi\Biggl[-\frac L{b-a}\left(\frac{b-a}Lx+a\right)^{-1}\Biggr]_0^L\\&=-\frac{\rho L}{\pi(b-a)}\left\{\frac1b-\frac1a\right\}=\frac{\rho L}{\pi ab}.\end{aligned}$