자연계열 3번

[논제 3](1) 제시문 [바]의 [그림 4]로부터 아래 그림을 얻고 삼각형의 닮은꼴을 이용하면 $\displaystyle H:h=p:q=1:3$이다.

따라서 $\displaystyle q=3p$이고 이를 공식 $\displaystyle \frac1p+\frac1q=\frac1f$에 대입하면 $\displaystyle \frac1p+\frac1{3p}=\frac1f$이 된다. 따라서 $\displaystyle p=\frac43f,\ q=4f$이다.

(2) 물체에서 실상까지의 거리는 $\displaystyle p+q$로 나타낼 수 있다. (3-1)에서 얻은 결과 $\displaystyle \frac1p+\frac1q=\frac1f$로부터 $\displaystyle q=\frac1{\frac1f-\frac1p}$이다. $\displaystyle p+q$를 $\displaystyle p$에 관한 식으로 나타낸 것을 $\displaystyle G(p)$라 하면 다음과 같이 주어진다.$\displaystyle G(p)=p+q=p+\frac1{\frac1f-\frac1p}=p+\frac1{\frac{p-f}{fp}}=p+\frac{fp}{p-f}=\frac{p(p-f)+fp}{p-f}=\frac{p^2}{p-f}.$(혹은,$\displaystyle G(p)=p+q=p+\frac1{\frac1f-\frac1p}=p+\frac1{\frac{p-f}{fp}}=p+\frac{fp}{p-f}=p+\frac{f(p-f)+f^2}{p-f}=p+f+\frac{f^2}{p-f}$)$\displaystyle G(p)$를 $\displaystyle p$에 대해 미분하여 임계점을 구하면,$\displaystyle \frac d{dp}G(p)=\frac d{dp}\left(\frac{p^2}{p-f}\right)=\frac{2p(p-f)-p^2}{(p-f)^2}=\frac{p^2-2fp}{(p-f)^2}=\frac{p(p-2f)}{(p-f)^2}=0$이므로 $\displaystyle p=2f$이다. $\displaystyle p<2f$이면 $\displaystyle G^{\prime}(p)<0$이고 $\displaystyle p>2f$이면 $\displaystyle G^{\prime}(p)>0$이므로 $\displaystyle p=2f$에서 $\displaystyle G(p)$는 최솟값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle p=2f$이고 이것을 $\displaystyle \frac1p+\frac1q=\frac1f$에 대입하면 $\displaystyle q=2f$를 얻는다. 물체에서 실상까지의 거리가 최소가 되는 $\displaystyle p,q$의 값은 $\displaystyle p=q=2f$이다.