자연계열 1번

[문제 1]$\displaystyle S_{\infty}=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots=1+\left(\frac1{2^2}+\frac1{3^2}\right)+\left(\frac1{4^2}+\frac1{5^2}+\frac1{6^2}+\frac1{7^2}\right)+\cdots$여기서 괄호(　)는 $\displaystyle 2^n$개의 항을 갖고 첫 번째 항이 $\displaystyle \frac1{2^{2n}}$이다. 이제 괄호(　)에 있는 수들을 그 중에서 가장 큰 값으로 바꾸면 다음과 같은 부등식을 얻는다.$\displaystyle S_{\infty}<1+\frac2{2^2}+\frac4{4^2}+\cdots=1+\frac12+\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^3+\cdots=\frac1{1-\frac12}=2$따라서 $\displaystyle S_{\infty}$ 즉 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$는 수렴하고 그 값은 $\displaystyle 2$보다 작다.