자연계열 3번

[문제 3]다음과 같이 정의된 함수$\displaystyle f(x)=\begin{cases}1,&1\le x<2,\\\frac12,&2\le x<3,\\\frac13,&3\le x<4,\\\vdots&\vdots\\\frac1n,&n\le x<n+1,\\\vdots&\vdots\end{cases}$

를 $\displaystyle x$축으로 회전하여 얻은 회전체를 생각하자. 각 수평선분(그림 참고)이 회전하여 만드는 겉넓이는 대응하는 토리첼리의 트럼펫의 곡선부분이 회전하여 만든 겉넓이보다 작다. 그러나 각 수평선분이 회전하여 만든 도형의 부피는 대응하는 토리첼리의 트럼펫의 곡선부분이 회전하여 만든 도형의 부피보다 크다. 이를 수식으로 나타내면Caution. 부피의 상계를 구할 때 쓴 큰 원기둥으로 겉넓이의 하계까지 구할 수는 없다. $\displaystyle [n,n+1]$에서는 반지름 $\displaystyle \frac1{n+1}$인 작은 원기둥과 비교해야 한다. 각 부분의 겉넓이가 $\displaystyle \frac{2\pi}{n+1}$보다 크고 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\pi}{n+1}$이 발산하므로 전체 겉넓이는 무한하다.트럼펫의 겉넓이$\displaystyle >\sum_{n=1}^{\infty}2\pi\left(\frac1n\right)\times1=2\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n=\infty$트럼펫의 부피$\displaystyle <\sum_{n=1}^{\infty}\pi\left(\frac1n\right)^2\times1=\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^3}6$따라서 트럼펫의 겉넓이는 무한이고 부피는 유한이다.