자연계열 3번

(가) 무한급수는 미적분학의 역사의 초기부터, 특히 Newton에 의하여 널리 이용되어 왔다고 하겠으나, 무한급수가 나타나기 시작한 것은 고대의 수학의 역사에서부터이다. 14세기에 수학자 올램(Oresme)은 조화급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots$가 발산하는 것을 다음과 같이 보였다.$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n&=1+\frac12+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\cdots\\&>1+\frac12+\left(\frac14+\frac14\right)+\left(\frac18+\frac18+\frac18+\frac18\right)+\cdots\\&=1+\left(\frac12+\frac12\right)+\left(\frac12+\frac12\right)+\cdots\\&=1+1+1+\cdots\\&=\infty\end{aligned}$18세기까지도 수학자들은 급수의 수렴, 발산에 관한 일반적인 기호도 이해하고 있지 않았으나, 특별한 급수의 합, 수렴하는 급수의 판정법, 발산하는 급수 등에 관한 지식은 가지고 있었다. 특히 오일러(Euler)는 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots$의 합이 $\displaystyle \frac{\pi^2}6$임을 1735년에 보였다. 19세기에 코시(Cauchy)에 의하여 무한급수가 체계적으로 다루어졌으며, 수렴성의 판정법 따위가 명확히 확립되었다.

(나) 각 변의 길이가 $\displaystyle 1$인 정삼각형을 $\displaystyle A_1$이라 하고, 도형 $\displaystyle A_1$의 각 변을 3등분하여 가운데 선분 위에 정삼각형을 그리고 밑변을 잘라내어 도형 $\displaystyle A_2$를 만든다. 다시 도형 $\displaystyle A_2$의 각 변을 3등분하여 가운데 선분 위에 정삼각형을 그리고 밑변을 잘라내어 도형 $\displaystyle A_3$를 만든다. 이와 같은 작업을 무수히 반복하면 눈송이 모양의 곡선이 나타나는데 이를 코흐곡선[그림 1]이라 부른다. 코흐곡선은 넓이는 유한이나 경계선의 길이는 무한인 프랙털의 전형적인 예이다.

(다) 곡선 $\displaystyle y=\frac1x\ (x\ge1)$을 $\displaystyle x$축의 둘레로 회전시켜서 생긴 회전체를 토리첼리의 트럼펫[그림 2]이라 하는데 이 트럼펫은 부피는 유한이나 겉넓이가 무한인 모순된 입체이다.