인하대 2010학년도 2차 예시문항 자연계열 2번 해설

【문항 4 : 수학】※ 다음 자료를 읽고 물음에 답하시오.

(가) 무한급수는 미적분학의 역사의 초기부터, 특히 Newton에 의하여 널리 이용되어 왔다고 하겠으나, 무한급수가 나타나기 시작한 것은 고대의 수학의 역사에서부터이다. 14세기에 수학자 올램(Oresme)은 조화급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots$ 가 발산하는 것을 다음과 같이 보였다. $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n&=1+\frac12+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\cdots\\&>1+\frac12+\left(\frac14+\frac14\right)+\left(\frac18+\frac18+\frac18+\frac18\right)+\cdots\\&=1+\left(\frac12+\frac12\right)+\left(\frac12+\frac12\right)+\cdots\\&=1+1+1+\cdots\\&=\infty\end{aligned}$ 18세기까지도 수학자들은 급수의 수렴, 발산에 관한 일반적인 기호도 이해하고 있지 않았으나, 특별한 급수의 합, 수렴하는 급수의 판정법, 발산하는 급수 등에 관한 지식은 가지고 있었다. 특히 오일러(Euler)는 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots$ 의 합이 $\displaystyle \frac{\pi^2}6$ 임을 1735년에 보였다. 19세기에 코시(Cauchy)에 의하여 무한급수가 체계적으로 다루어졌으며, 수렴성의 판정법 따위가 명확히 확립되었다.

(나) 각 변의 길이가 $\displaystyle 1$ 인 정삼각형을 $\displaystyle A_1$ 이라 하고, 도형 $\displaystyle A_1$ 의 각 변을 3등분하여 가운데 선분 위에 정삼각형을 그리고 밑변을 잘라내어 도형 $\displaystyle A_2$ 를 만든다. 다시 도형 $\displaystyle A_2$ 의 각 변을 3등분하여 가운데 선분 위에 정삼각형을 그리고 밑변을 잘라내어 도형 $\displaystyle A_3$ 를 만든다. 이와 같은 작업을 무수히 반복하면 눈송이 모양의 곡선이 나타나는데 이를 코흐곡선[그림 1]이라 부른다. 코흐곡선은 넓이는 유한이나 경계선의 길이는 무한인 프랙털의 전형적인 예이다.

(다) 곡선 $\displaystyle y=\frac1x\ (x\ge1)$ 을 $\displaystyle x$ 축의 둘레로 회전시켜서 생긴 회전체를 토리첼리의 트럼펫[그림 2]이라 하는데 이 트럼펫은 부피는 유한이나 겉넓이가 무한인 모순된 입체이다.

[문제 2] 제시문 (나)에서 주어진 코흐곡선 $\displaystyle A_n$ 의 넓이와 둘레의 길이를 각각 $\displaystyle n$ 에 관한 식으로 나타내고 $\displaystyle n\to\infty$ 일 때, 각각의 극한값을 구하시오.

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[문제 2]코흐곡선 $\displaystyle A_n$ 의 둘레의 길이를 $\displaystyle L_n$ , 넓이를 $\displaystyle S_n$ 이라 하자. $\displaystyle A_1$ 의 둘레의 길이는 $\displaystyle L_1=3$ , $\displaystyle A_1$ 의 넓이는 $\displaystyle S_1=\frac{\sqrt3}4$ ; $\displaystyle A_2$ 의 둘레의 길이는 $\displaystyle L_2=3\times4\times\left(\frac13\right)=3\left(\frac43\right)$ , $\displaystyle A_2$ 의 넓이는 $\displaystyle S_1$ 에 길이가 $\displaystyle \frac13$ 인 정삼각형 3개의 넓이의 합이므로 $\displaystyle S_2=S_1+3\left(\frac12\times\frac13\times\frac13\times\frac{\sqrt3}2\right)=\frac{\sqrt3}4+\frac{3\sqrt3}4\left(\frac13\right)^2 4^0;$ $\displaystyle A_3$ 의 둘레의 길이는 $\displaystyle L_3=3\times4\times\left(4\times\left(\frac13\times\frac13\right)\right)=3\left(\frac43\right)^2$ , $\displaystyle A_3$ 의 넓이는 $\displaystyle S_2$ 에 길이가 $\displaystyle \left(\frac13\right)^2$ 인 정삼각형 $\displaystyle 3\times4$ 개의 넓이의 합이므로 $\displaystyle S_3=S_2+\left(\frac12\times\frac19\times\frac19\times\frac{\sqrt3}2\right)\times3\times4=\frac{\sqrt3}4+\frac{3\sqrt3}4\left(\frac13\right)^2 4^0+\frac{3\sqrt3}4\left(\frac13\right)^4 4^1,$ $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle A_n$ 의 둘레의 길이는 $\displaystyle L_n=3\left(\frac43\right)^{n-1}$ , $\displaystyle A_n$ 의 넓이 $\displaystyle S_n$ 은 $\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\frac{\sqrt3}4+\frac{3\sqrt3}4\left\{\left(\frac13\right)^2+\left(\frac13\right)^4 4+\left(\frac13\right)^6 4^2+\left(\frac13\right)^8 4^3+\cdots+\left(\frac13\right)^{2(n-1)}4^{n-2}\right\}\\&=\frac{\sqrt3}4+\frac{3\sqrt3}4\frac{\frac19\left(1-\left(\frac49\right)^{n-1}\right)}{1-\frac49}=\frac{\sqrt3}4+\frac{3\sqrt3}{20}\left(1-\left(\frac49\right)^{n-1}\right)\end{aligned}$ 이다. 각각 극한을 취하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}L_n=\infty$ (무한), $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{\sqrt3}4+\frac{3\sqrt3}{20}$ (유한)

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자연계열 2번

논술 코흐 곡선과 눈송이

첨삭 사례

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