자연계열 2번

[문제 2]코흐곡선 $\displaystyle A_n$의 둘레의 길이를 $\displaystyle L_n$, 넓이를 $\displaystyle S_n$이라 하자. $\displaystyle A_1$의 둘레의 길이는 $\displaystyle L_1=3$, $\displaystyle A_1$의 넓이는 $\displaystyle S_1=\frac{\sqrt3}4$; $\displaystyle A_2$의 둘레의 길이는 $\displaystyle L_2=3\times4\times\left(\frac13\right)=3\left(\frac43\right)$, $\displaystyle A_2$의 넓이는 $\displaystyle S_1$에 길이가 $\displaystyle \frac13$인 정삼각형 3개의 넓이의 합이므로$\displaystyle S_2=S_1+3\left(\frac12\times\frac13\times\frac13\times\frac{\sqrt3}2\right)=\frac{\sqrt3}4+\frac{3\sqrt3}4\left(\frac13\right)^2 4^0;$$\displaystyle A_3$의 둘레의 길이는 $\displaystyle L_3=3\times4\times\left(4\times\left(\frac13\times\frac13\right)\right)=3\left(\frac43\right)^2$, $\displaystyle A_3$의 넓이는 $\displaystyle S_2$에 길이가 $\displaystyle \left(\frac13\right)^2$인 정삼각형 $\displaystyle 3\times4$개의 넓이의 합이므로$\displaystyle S_3=S_2+\left(\frac12\times\frac19\times\frac19\times\frac{\sqrt3}2\right)\times3\times4=\frac{\sqrt3}4+\frac{3\sqrt3}4\left(\frac13\right)^2 4^0+\frac{3\sqrt3}4\left(\frac13\right)^4 4^1,$$\displaystyle \cdots$, $\displaystyle A_n$의 둘레의 길이는 $\displaystyle L_n=3\left(\frac43\right)^{n-1}$, $\displaystyle A_n$의 넓이 $\displaystyle S_n$은$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\frac{\sqrt3}4+\frac{3\sqrt3}4\left\{\left(\frac13\right)^2+\left(\frac13\right)^4 4+\left(\frac13\right)^6 4^2+\left(\frac13\right)^8 4^3+\cdots+\left(\frac13\right)^{2(n-1)}4^{n-2}\right\}\\&=\frac{\sqrt3}4+\frac{3\sqrt3}4\frac{\frac19\left(1-\left(\frac49\right)^{n-1}\right)}{1-\frac49}=\frac{\sqrt3}4+\frac{3\sqrt3}{20}\left(1-\left(\frac49\right)^{n-1}\right)\end{aligned}$이다. 각각 극한을 취하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}L_n=\infty$(무한), $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{\sqrt3}4+\frac{3\sqrt3}{20}$ (유한)