자연계열 1번

[문제 1]$\displaystyle F(-x)=F(x)$임을 보이자.$\displaystyle \begin{aligned}\text{(풀이1)}\quad F(-x)&=\int_0^{-x}((-x)^3-4t^3)f(t)\,dt=\int_0^{-x}(-x^3-4t^3)f(t)\,dt\\&=\int_0^x(-x^3-4(-u)^3)f(-u)(-du)\quad(\because t=-u)\\&=\int_0^x(x^3-4u^3)f(-u)\,du\end{aligned}$함수 $\displaystyle f$가 우함수이므로 제시문 (가)에 의해 $\displaystyle f(-x)=f(x)$이다. 따라서$\displaystyle F(-x)=\int_0^x(x^3-4u^3)f(-u)\,du=\int_0^x(x^3-4u^3)f(u)\,du=F(x)$.