자연계열 4번

[문제 4]$\displaystyle C^{\prime}=\left\{(x,y)\mathrel{\Big|}\frac{x^2}9+y^2=1\right\}$이라 두면 $\displaystyle C^{\prime}$은 행렬$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\frac\pi4&-\sin\frac\pi4\\\sin\frac\pi4&\cos\frac\pi4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}\\\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}$로 나타내어지는 회전변환에 의해 $\displaystyle C$로 옮겨진다.$\displaystyle C_1$에 외접하고 $\displaystyle C^{\prime}$에 내접하는 원을 $\displaystyle C_2^{\prime}$라 하고, $\displaystyle C_2^{\prime}$의 반지름을 $\displaystyle r$이라 하면 원 $\displaystyle C_2^{\prime}$의 식은$\displaystyle (x-(1+r))^2+y^2=r^2$Comment. 대학 답안은 그림처럼 $\displaystyle C_2$의 중심이 타원의 장축 위에 놓인 경우를 풀고 있다. 이 조건은 발문에 명시되어 있지 않으므로, 원의 중심이 장축 위에 있다는 그림의 배치를 조건으로 해석해야 대학 답안의 원을 정할 수 있다. 그러나 발문에 이 조건을 추가하지는 않고, 수록 원칙에 따라 원문을 그대로 실었다.이다. $\displaystyle C_2^{\prime}$식과 $\displaystyle C^{\prime}$식을 연립하여 $\displaystyle y^2$을 소거하여 정리하면$\displaystyle 8x^2-18(1+r)x+18(1+r)=0$이다. 이 방정식은 중근을 가져야 하므로 판별식 $\displaystyle D=81(1+r)^2-144(1+r)=0$이다.Correction. $\displaystyle 81(1+r)^2-144(1+r)$는 판별식 $\displaystyle D$가 아니라 $\displaystyle D/4$이다. 이를 $\displaystyle 0$으로 놓아 구한 반지름에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이로부터 $\displaystyle C_2^{\prime}$의 반지름과 중심은 $\displaystyle r=\frac79$, $\displaystyle \left(\frac{16}9,0\right)$이다. 따라서 $\displaystyle C_2$의 반지름은 $\displaystyle \frac79$이고 중심은$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}\\\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{16}9\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac89\sqrt2\\\frac89\sqrt2\end{pmatrix}$, 즉 $\displaystyle \left(\frac89\sqrt2,\frac89\sqrt2\right)$이다.