인하대 2012학년도 수시 2차 자연계열 4번 해설

【문항 3 : 물리+수학】(수학, 40점)

(가) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(-x)=f(x)$ 일 때, $\displaystyle f(x)$ 를 우함수 혹은 짝함수라고 한다. 이때, $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프는 $\displaystyle y$ 축에 대하여 대칭이다. 또한 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(-x)=-f(x)$ 일 때, $\displaystyle f(x)$ 를 기함수 혹은 홀수함수라고 한다. 이때, $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

(나) 아래 그림과 같이 연속함수 $\displaystyle f(x)$ 가 폐구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 $\displaystyle f(x)\ge0$ 을 만족한다고 하자. 이때 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축 및 두 직선 $\displaystyle x=a,x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이가 밑변의 길이는 $\displaystyle b-a$ 이고 높이는 $\displaystyle f(c)$ 인 직사각형의 넓이와 같게 되는 $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

이를 식으로 나타내면 다음과 같다. $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=(b-a)f(c)\quad(a<c<b)$ 이 식은 일반적으로 $\displaystyle f(x)\ge0$ 이 아니어도 성립한다. 이를 ‘적분에 관한 평균값의 정리’라고 한다.

(다) 변환 $\displaystyle f:(x,y)\to(x^{\prime},y^{\prime})$ 에서 $\displaystyle \begin{cases}x^{\prime}=ax+by\\y^{\prime}=cx+dy\end{cases}$ (단, $\displaystyle a,b,c,d$ 는 상수)와 같이 표현되는 변환 $\displaystyle f$ 를 일차변환이라 하고, 이를 행렬로 표현하면 $\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ 이다. 이때 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 를 일차변환 $\displaystyle f$ 를 나타내는 행렬이라 한다.일반적으로 평면에 있는 도형 $\displaystyle R$ 가 일차변환 $\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ 에 의하여 도형 $\displaystyle R^{\prime}$ 으로 옮겨질 때, 만약 $\displaystyle ad-bc\ne0$ 이면 $\displaystyle R^{\prime}$ 의 넓이는 $\displaystyle R$ 의 넓이의 $\displaystyle |ad-bc|$ 배임이 알려져 있다. 예를 들면, 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ 로 나타내어지는 회전변환은 도형의 넓이를 보존시키며, 이는 $\displaystyle |\cos^2\theta+\sin^2\theta|=1$ 인 것과 일치한다. 또한 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$ 로 나타내어지는 닮음변환에 의해 옮겨진 도형의 넓이는 원래 도형의 넓이의 $\displaystyle k^2$ 배가 되며, 이는 $\displaystyle |k^2-0^2|=k^2$ 인 것과 같다.

□ 문제 3 ~ 문제 4번다음에서 요구하는 바를 제시문 (다)에 근거하여 [문항 3 : 물리+수학] (수학) 답안에 기술하시오.

[문제 4] 타원 $\displaystyle C$ 는 중심이 원점 $\displaystyle (0,0)$ 이고, 장축은 직선 $\displaystyle y=x$ 위에 있으며 길이가 $\displaystyle 6$ 이고, 단축은 직선 $\displaystyle y=-x$ 위에 있으며 길이가 $\displaystyle 2$ 이다. 타원 $\displaystyle C$ 에 내접하는 가장 큰 원을 $\displaystyle C_1$ 이라 하자. 제1사분면에서 $\displaystyle C_1$ 에 외접하고 $\displaystyle C$ 에 내접하는 원 $\displaystyle C_2$ 의 중심과 반지름을 구하시오. (12점)

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[문제 4] $\displaystyle C^{\prime}=\left\{(x,y)\mathrel{\Big|}\frac{x^2}9+y^2=1\right\}$ 이라 두면 $\displaystyle C^{\prime}$ 은 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\frac\pi4&-\sin\frac\pi4\\\sin\frac\pi4&\cos\frac\pi4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}\\\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}$ 로 나타내어지는 회전변환에 의해 $\displaystyle C$ 로 옮겨진다. $\displaystyle C_1$ 에 외접하고 $\displaystyle C^{\prime}$ 에 내접하는 원을 $\displaystyle C_2^{\prime}$ 라 하고, $\displaystyle C_2^{\prime}$ 의 반지름을 $\displaystyle r$ 이라 하면 원 $\displaystyle C_2^{\prime}$ 의 식은 $\displaystyle (x-(1+r))^2+y^2=r^2$ Comment. 대학 답안은 그림처럼 $\displaystyle C_2$ 의 중심이 타원의 장축 위에 놓인 경우를 풀고 있다. 이 조건은 발문에 명시되어 있지 않으므로, 원의 중심이 장축 위에 있다는 그림의 배치를 조건으로 해석해야 대학 답안의 원을 정할 수 있다. 그러나 발문에 이 조건을 추가하지는 않고, 수록 원칙에 따라 원문을 그대로 실었다.이다. $\displaystyle C_2^{\prime}$ 식과 $\displaystyle C^{\prime}$ 식을 연립하여 $\displaystyle y^2$ 을 소거하여 정리하면 $\displaystyle 8x^2-18(1+r)x+18(1+r)=0$ 이다. 이 방정식은 중근을 가져야 하므로 판별식 $\displaystyle D=81(1+r)^2-144(1+r)=0$ 이다.Correction. $\displaystyle 81(1+r)^2-144(1+r)$ 는 판별식 $\displaystyle D$ 가 아니라 $\displaystyle D/4$ 이다. 이를 $\displaystyle 0$ 으로 놓아 구한 반지름에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이로부터 $\displaystyle C_2^{\prime}$ 의 반지름과 중심은 $\displaystyle r=\frac79$ , $\displaystyle \left(\frac{16}9,0\right)$ 이다. 따라서 $\displaystyle C_2$ 의 반지름은 $\displaystyle \frac79$ 이고 중심은 $\displaystyle \begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}\\\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{16}9\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac89\sqrt2\\\frac89\sqrt2\end{pmatrix}$ , 즉 $\displaystyle \left(\frac89\sqrt2,\frac89\sqrt2\right)$ 이다.

평가 기준
우함수의 정의, 미적분학의 기본정리, 증가함수의 개념을 정확하게 이해하고, 문제 해결에 활용할 수 있는 능력
원을 타원으로 옮겨주는 일차변환 및 회전변환을 문제 해결에 활용하는 능력
논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하고 제시하는 능력

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자연계열 4번

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