자연계열 3번

[문제 3]타원 $\displaystyle \frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1$은 단위원 $\displaystyle x^2+y^2=1$을 일차변환 $\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p&0\\0&q\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$에 의해 옮겨진 도형이다. 단위원에 내접하고 넓이가 최대인 삼각형을 $\displaystyle A$, 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1$에 내접하고 넓이가 최대인 삼각형을 $\displaystyle B$라 하면 제시문 (다)에 의해 $\displaystyle B$의 넓이는 $\displaystyle A$의 넓이의 $\displaystyle |pq-0|$이다. 따라서 구하는 삼각형의 최대 넓이는 $\displaystyle \frac34\sqrt3pq$이다.