자연계열 3번

(가) 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(-x)=f(x)$일 때, $\displaystyle f(x)$를 우함수 혹은 짝함수라고 한다. 이때, $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이다. 또한 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(-x)=-f(x)$일 때, $\displaystyle f(x)$를 기함수 혹은 홀수함수라고 한다. 이때, $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

(나) 아래 그림과 같이 연속함수 $\displaystyle f(x)$가 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 $\displaystyle f(x)\ge0$을 만족한다고 하자. 이때 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=a,x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이가 밑변의 길이는 $\displaystyle b-a$이고 높이는 $\displaystyle f(c)$인 직사각형의 넓이와 같게 되는 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

이를 식으로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=(b-a)f(c)\quad(a<c<b)$이 식은 일반적으로 $\displaystyle f(x)\ge0$이 아니어도 성립한다. 이를 ‘적분에 관한 평균값의 정리’라고 한다.

(다) 변환 $\displaystyle f:(x,y)\to(x^{\prime},y^{\prime})$에서 $\displaystyle \begin{cases}x^{\prime}=ax+by\\y^{\prime}=cx+dy\end{cases}$ (단, $\displaystyle a,b,c,d$는 상수)와 같이 표현되는 변환 $\displaystyle f$를 일차변환이라 하고, 이를 행렬로 표현하면$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$이다. 이때 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$를 일차변환 $\displaystyle f$를 나타내는 행렬이라 한다.일반적으로 평면에 있는 도형 $\displaystyle R$가 일차변환 $\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$에 의하여 도형 $\displaystyle R^{\prime}$으로 옮겨질 때, 만약 $\displaystyle ad-bc\ne0$이면 $\displaystyle R^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle R$의 넓이의 $\displaystyle |ad-bc|$배임이 알려져 있다. 예를 들면, 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$로 나타내어지는 회전변환은 도형의 넓이를 보존시키며, 이는 $\displaystyle |\cos^2\theta+\sin^2\theta|=1$인 것과 일치한다. 또한 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$로 나타내어지는 닮음변환에 의해 옮겨진 도형의 넓이는 원래 도형의 넓이의 $\displaystyle k^2$배가 되며, 이는 $\displaystyle |k^2-0^2|=k^2$인 것과 같다.