자연계열 1번

(1-1) 합성함수의 미분법을 이용하면$\displaystyle \frac1{2\sqrt x}+\frac{y^{\prime}}{2\sqrt y}=0$이고 따라서$\displaystyle y^{\prime}=-\frac{\sqrt y}{\sqrt x}=-\frac{1-\sqrt x}{\sqrt x}$　(단, $\displaystyle x>0$)(별해) $\displaystyle y=(1-\sqrt x)^2=1-2\sqrt x+x$이므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac1{\sqrt x}+1=-\frac{1-\sqrt x}{\sqrt x}$

(1-2) 논제 (1-1)에 의해 $\displaystyle P(a,(1-\sqrt a)^2)$에서의 접선의 기울기가$\displaystyle y^{\prime}\big|_{x=a}=-\frac{1-\sqrt a}{\sqrt a}$이므로 접선의 방정식은$\displaystyle y-(1-\sqrt a)^2=-\frac{1-\sqrt a}{\sqrt a}(x-a)$이다.

따라서, $\displaystyle x$축과 교점은 $\displaystyle x=\sqrt a$이고 $\displaystyle y$축과 교점은 $\displaystyle y=1-\sqrt a$이므로 좌표축과 만나는 점들의 합은 항상 $\displaystyle 1$로 일정하다.

(1-3) 논제 (1-2)에 의해 $\displaystyle P(a,(1-\sqrt a)^2)$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle \frac{x}{\sqrt a}+\frac{y}{1-\sqrt a}=1$이고 $\displaystyle Q(\sqrt a,0)$, $\displaystyle R(0,1-\sqrt a)$이다.따라서, $\displaystyle \overline{QR}=\sqrt{a+(1-\sqrt a)^2}$이고 제시문 (다)에 의해 $\displaystyle O$에서 접선까지의 거리 $\displaystyle \overline{OS}$는$\displaystyle \overline{OS}=\frac{\sqrt a-a}{\sqrt{a+(1-\sqrt a)^2}}$이다.한편, 도형 $\displaystyle A$의 넓이는 정적분을 이용하여 계산하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}A&=\int_a^1(1-2\sqrt x+x)\,dx-\frac12(\sqrt a-a)(1-\sqrt a)^2\\&=\int_a^1(1-2\sqrt x+x)\,dx-\frac12\sqrt a(1-\sqrt a)^3\\&=\frac16+\frac12a-\frac16a\sqrt a-\frac12\sqrt a=\frac16(1-\sqrt a)^3\end{aligned}$$\displaystyle A=\frac1{162}$이므로 $\displaystyle a=\frac49$가 된다.

따라서, $\displaystyle \overline{QR}=\frac{\sqrt5}3$이고 $\displaystyle \overline{OS}=\frac{2\sqrt5}{15}$이다.